Question

【题目】如图，在菱形ABCD中，AB＝4，∠BAD＝120°，以点A为顶点的一个60°的角∠EAF绕点A旋转，∠EAF的两边分别交BC，CD于点E，F，且E，F不与B，C，D重合，连接EF.

(1)求证：BE＝CF.

(2)在∠EAF绕点A旋转的过程中，四边形 AECF的面积是否发生变化？如果不变，求出其定值；如果变化，请说明理由．

Answer 1

【答案】(1)证明见解析(2) S四边形AECF＝4

【解析】试题分析：（1）连接AC，根据∠BAD＝120°和菱形的性质可得∠ABE＝∠ACF＝60°，然后由∠1＋∠2＝60°，∠3＋∠2＝∠EAF＝60°得∠1＝∠3，再证得△ABC为等边三角形，得AC＝AB，进而证得△ABE≌△ACF，由全等三角形的对应边相等即可得出结论；

（2）根据△ABE≌△ACF可得S△ABE＝S△ACF，故根据S四边形AECF＝S△AEC＋S△ACF＝S△AEC＋S△ABE＝S△ABC可知四边形AECF的面积不变，做出BC边上的高，根据等边三角形的性质和勾股定理求出高，利用三角形的面积公式求出△ABC的面积即为AECF的面积．

试题解析：

（1）证明：如图，连接AC.

∵四边形ABCD为菱形，

∠BAD＝120°，　

∴∠ABE＝∠ACF＝60°，

∠1＋∠2＝60°，

∵∠3＋∠2＝∠EAF＝60°，

∴∠1＝∠3．

∵∠ABC＝60°，AB＝BC，

∴△ABC为等边三角形，

∴AC＝AB，

∴△ABE≌△ACF．

∴BE＝CF．

（2）解：四边形AECF的面积不变．

由（1）知△ABE≌△ACF，

则S△ABE＝S△ACF，

故S四边形AECF＝S△AEC＋S△ACF＝S△AEC＋S△ABE＝S△ABC．

如图，过A作AM⊥BC于点M，则BM＝MC＝2，

∴AM＝＝＝．

∴S△ABC＝BC·AM＝×4×＝．

故S四边形AECF＝．