Question

【题目】如图 1，直线 y＝﹣x+6 与 y 轴于点 A，与 x 轴交于点 D，直线 AB 交 x 轴于点 B，AOB 沿直线 AB 折叠，点 O 恰好落在直线 AD 上的点 C 处．

（1）求点 B 的坐标；

（2）如图 2，直线 AB 上的两点 F、G，DFG 是以 FG 为斜边的等腰直角三角形，求点 G 的坐标；

（3）如图 3，点 P 是直线 AB 上一点，点 Q 是直线 AD 上一点，且 P、Q 均在第四象限，点 E 是 x 轴上一点，若四边形 PQDE 为菱形，求点 E 的坐标．

Answer 1

【答案】（1）B的坐标为（3，0）；（2）G的坐标为（2，2）；（3）E的坐标为（﹣2，0）．

【解析】

（1）设BC＝OB＝x，则BD＝8﹣x，在RtBCD中，根据BC2+CD2＝BD2，构建方程即可解决问题；

（2）作GM⊥x轴于M，FN⊥x轴于N，由DMG≌FND（AAS），推出GM＝DN，DM＝FN，设GM＝DM＝m，DM＝FN＝n，根据G、F在直线AB上，构建方程组即可解决问题；

（3）如图，设Q（a，﹣a+6），因为PQ∥x轴，且点P在直线y＝﹣2x+6上，推出P（a，﹣a+6），PQ＝a，作QH⊥x轴于H．由勾股定理可知：QH：DH：DQ＝3：4：5，想办法构建方程即可解决问题．

解：（1）对于直线y＝﹣x+6，

令x＝0，得到y＝6，可得A（0，6），

令y＝0，得到x＝8，可得D（8，0），

∴AC＝AO＝6，OD＝8，AD＝＝10，

∴CD＝AD﹣AC＝4，设BC＝OB＝x，则BD＝8﹣x，

在RtBCD中，∵BC2+CD2＝BD2，

∴x2+42＝（8﹣x）2，

∴x＝3，

∴B（3，0）．

（2）设直线AB的解析式为y＝kx+6，

∵B（3，0），

∴3k+6＝0，

∴k＝﹣2，

∴直线AB的解析式为y＝﹣2x+6，

作GM⊥x轴于M，FN⊥x轴于N，

∵DFG是等腰直角三角形，

∴DG＝FD，∠1＝∠2，∠DMG＝∠FND＝90°，

∴DMG≌FND（AAS），

∴GM＝DN，DM＝FN，

设GM＝DN＝m，DM＝FN＝n，

∵G、F在直线AB上，

则：m＝﹣2（8﹣n）+6，﹣n＝﹣2（8﹣m）+6，

解得：m＝2，n＝6

∴OM＝OD﹣DM＝2，GM＝2，

∴G（2，2）．

（3）①当点E在y轴左侧时，

如图，设Q（a，﹣a+6），

∵PQ∥x轴，且点P在直线y＝﹣2x+6上，

∴P（a，﹣a+6），

∴PQ＝a，作QH⊥x轴于H．

∴DH＝a﹣8，QH＝a﹣6，

∴＝，

由勾股定理可知：QH：DH：DQ＝3：4：5，

∴QH＝DQ＝a，

∴a＝a﹣6，

∴a＝16，

∴Q（16，﹣6），P（6，﹣6），

∵ED∥PQ，ED＝PQ，D（8，0），

∴E（﹣2，0）．

②当点E在y轴右侧时，

同理可得：点E（3.4，0）（舍去）；

故点E的坐标为（﹣2，0）．