Question

【题目】如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，P是△ABC内一点，且PA=3，PB=1，PC= CD=2，CD⊥CP,求∠BPC的度数

Answer 1

【答案】135°

【解析】试题分析：根据同角的余角相等求出∠ACP=∠BCD，再利用“边角边”证明△ACP和△BCD全等，判断出△PCD是等腰直角三角形，再根据全等三角形对应边相等可得AP=BD，然后利用勾股定理逆定理判断出△BPD是直角三角形，∠BPD=90°，再根据∠BPC=∠BPD+∠CPD代入数据计算即可得解．

试题解析：

解：连接BD.

∵CD⊥CP，CP＝CD＝2，

∴△CPD为等腰直角三角形．

∴∠CPD＝45°.

∵∠ACP＋∠BCP＝∠BCP＋∠BCD＝90°，

∴∠ACP＝∠BCD.

∵CA＝CB，

∴△CAP≌△CBD(SAS)．

∴DB＝PA＝3.

在Rt△CPD中，DP2＝CP2＋CD2＝22＋22＝8.

又∵PB＝1，DB2＝9，

∴DB2＝DP2＋PB2＝8＋1＝9.

∴∠DPB＝90°.

∴∠CPB＝∠CPD＋∠DPB＝45°＋90°＝135°.