Question

【题目】如图，DE是△ABC的中位线，过点C作CF∥BD交DE的延长线于点F．
（1）求证：DE=EF．
（2）分别连结DC、AF，若AC=BC，试判断四边形ADCF的形状，并说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）证明：∵DE是△ABC的中位线，

∴E为AC中点，

∴AE=EC，

∵CF∥BD，

∴∠ADE=∠F，

在△ADE和△CFE中，

∵ ，

∴△ADE≌△CFE（AAS），

∴DE=FE．

（2）解：四边形ADCF是矩形．

理由：∵DE=FE，AE=AC，

∴四边形ADCF是平行四边形，

∴AD=CF，

∵AD=BD，

∴BD=CF，

∴四边形DBCF为平行四边形，

∴BC=DF，

∵AC=BC，

∴AC=DF，

∴平行四边形ADCF是矩形．

【解析】（1）首先根据三角形的中位线定理得出AE=EC，然后根据CF∥BD得出∠ADE=∠F，继而根据AAS证得△ADE≌△CFE，最后根据全等三角形的性质即可推出EF=DE；（2）首先证得四边形ADCF是平行四边形、四边形DBCF也为平行四边形，从而得到BC=DF，然后根据AC=BC得到AC=DF，从而得到四边形ADCF是矩形．
【考点精析】解答此题的关键在于理解三角形中位线定理的相关知识，掌握连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线；三角形中位线定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，且等于第三边的一半．