Question

【题目】徐老师给爱好学习的小敏和小捷提出这样一个问题：如图1，△ABC中，∠B=2∠C，AD是∠BAC的平分线．求证：AB+BD=AC

小敏的证明思路是：在AC上截取AE=AB，连接DE．（如图2）

小捷的证明思路是：延长CB至点E，使BE=AB，连接AE．可以证得：AE=DE（如图3）请你任意选择一种思路继续完成下一步的证明．

Answer 1

【答案】答案见解析

【解析】试题分析：小敏的方法是利用角平分线添加辅助线，构造全等三角形，△ABD和△AED证明AB+BD=AC.小捷的方法构造等腰三角形AEC,EAD，证明AB+BD=AC.

试题解析：

小敏的证明思路是：如图2，在AC上截取AE=AB，连接DE．（如图2）

∵AD是∠BAC的平分线，

∴∠BAD=∠EAD，

在△ABD和△AED中，

AB=AE，

∠BAD=∠EAD，

AD=AD，

∴△ABD≌△AED（SAS），

∴BD=DE，∠ABD=∠AED，

∵∠AED=∠EDC+∠C，∠B=2∠C，

∴∠EDC=∠C，

∴DE=EC，即AB+BD=AC；

小捷的证明思路是：如图3，延长CB至点E，使BE=AB，连接AE．

∴∠E=∠BAE,

∵∠ABC=∠E+∠BAE，

∴∠ABC=2∠E,

∵∠ABC=2∠C，

∴∠E=∠C，

∴△AEC是等腰三角形,

∵AD是∠BAC的平分线，

∴∠BAD=∠DAC,

∵∠ADE=∠DAC+∠C，∠DAE=∠BAD+∠BAE，

∴∠ADE=∠DAE，

∴EA=ED=AC，

∴AB+BD=AC.