Question

【题目】如图①，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠B=90°，点P在BC边上，当∠APD=90° 时，可知△ABP∽△PCD．（不要求证明）

（1）探究：如图②，在四边形ABCD中，点P在BC边上，当∠B=∠C=∠APD时，求证：△ABP∽△PCD．

（2）拓展：如图③，在△ABC中，点P是边BC的中点，点D、E分别在边AB、AC上若∠B=∠C=∠DPE=45°，BC=8，CE=6，则DE的长为　 　．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）

【解析】【试题分析】（1）根据两角对应相等，两三角形相似证明；（2）根据相似三角形的性质求解.

【试题解析】

∵∠APD=90°，

∴∠APB+∠DPC=90°，

∵∠B=90°，

∴∠APB+∠BAP=90°，

∴∠BAP=∠DPC，

∵AB∥CD，∠B=90°，

∴∠C=∠B=90°，

∴△ABP∽△DCP．

（1）探究：∵∠APC=∠BAP+∠B，∠APC=∠APD+∠CPD，

∴∠BAP+∠B=∠APD+∠CPD．

∵∠B=∠APD，

∴∠BAP=∠CPD．

∵∠B=∠C，

∴△ABP∽△PCD，

（2）拓展：同探究的方法得出，△BDP∽△CPE，

∴，

∵点P是边BC的中点，

∴BP=CP=4,

∵CE=6，

∴，

∴BD=，

∵∠B=∠C=45°，

∴∠A=180°﹣∠B﹣∠C=90°，

即AC⊥AB且AC=AB=8，

∴AD=AB﹣BD=8﹣=，AE=AC﹣CE=2，

在Rt△ADE中，DE==．

故答案是： ．