Question

【题目】如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，动点D从点A出发以每秒3个单位的速度运动至点B，过点D作DE⊥AB交射线AC于点E．设点D的运动时间为t秒（t＞0）．

（1）线段AE的长为　 　．（用含t的代数式表示）

（2）若△ADE与△ACB的面积比为1：4时，求t的值．

（3）设△ADE与△ACB重叠部分图形的周长为L，求L与t之间的函数关系式．

（4）当直线DE把△ACB分成的两部分图形中有一个是轴对称图形时，直接写出t的值．

Answer 1

【答案】（1）5t；（2）；（3）当时，L=12t，当时， ；（4）或1．

【解析】【试题分析】（1）利用三角函数求解；（2）根据△ADE与△ACB的面积比为1：4列出方程求解；（3）按照和两种情况讨论； （4）当DE=CE时，四边形BCED是轴对称图形，和当DE和BC相交于F，AD=AC时，四边形ACFE是轴对称图形两种情形讨论.

【试题解析】

（1）在Rt△ABC中，tanA==

由题意得，AD=3t，

在Rt△ADE中，tanA===，

根据勾股定理得，AE=5t．

故答案为5t；

（2）方法一：∵ED⊥AB，

∴∠ADE=90°．∵∠ACB=90°，

∴∠ACB=∠ADE．∠A=∠A，

∴△ABC∽△AED，

∴．

∵AD=3t，AC=3，BC=4，

∴DE=4t．

∴．

∵，

∵，

∴．

∴（舍）

∴t的值为．

方法二：∵ED⊥AB，

∴∠ADE=90°．

∵∠ACB=90°，

∴∠ACB=∠ADE．

∵∠A=∠A，

∴△ABC∽△AED，

∵，

∴．

∵AC=3，AD=3t，

∴2×3t=3，t=．

（3）由（2）得：△ABC∽△AED，

∴．

∵AD=3t，

∴DE=4t，AE=5t．BD=5﹣3t，

∴当时，L=3t+4t+5t=12t．

∴L=12t．

当时，如图，

∵∠B=∠B，∠BDF=∠BCA，

∴△ABC∽△FBD，

∴．

∵BD=5﹣3t，

∴．

∵∠BFD=∠EFC，∠BDF=∠ECF，

∴∠B=∠E，

∵∠FCE=∠BCA

∴△BCA∽△ECF，

∴．

∵CE=5t﹣3，

∴．

．

∴．

（4）由（1）知，AE=5t，DE=4t，

∴CE=3﹣5t，

当DE=CE时，四边形BCED是轴对称图形，

∴4t=3﹣5t，

∴t=，

当DE和BC相交于F，AD=AC时，四边形ACFE是轴对称图形，

∵AD=3t，AC=3，

∴3t=3，

∴t=1．

即：满足条件的时间t为或1．