Question

【题目】在小学，我们知道正方形具有性质“四条边都相等，四个内角都是直角”，请适当利用上述知识，解答下列问题：

已知：如图，在正方形ABCD中，AB=4，点G是射线AB上的一个动点，以DG为边向右作正方形DGEF，作EH⊥AB于点H．

（1）填空：∠AGD+∠EGH=　 　°；

（2）若点G在点B的右边．

①求证：△DAG≌△GHE；

②试探索：EH﹣BG的值是否为定值，若是，请求出定值；若不是，请说明理由．

（3）连接EB，在G点的整个运动（点G与点A重合除外）过程中，求∠EBH的度数；

Answer 1

【答案】（1）90；（2）①答案见解析；②EH﹣BG的值是定值4；（3）45°．

【解析】试题分析：（1）根据正方形的性质得到∠DGE=90°，由平角的定义即可得到结论；
（2）①根据垂直的定义得到∠GHE=90°，根据余角的性质得到∠GEH=∠AGD，根据正方形的性质得到∠DAG=90°，DG=GE，求得∠DAG=∠GHE，根据全等三角形的判定定理即可得到结论；②根据全等三角形的性质得到AG=EH，根据线段的和差即可得到结论；
（3）下面分两种情况讨论：（ I）当点G在点B的左侧时，如图1，根据全等三角形的性质得到GH=DA=AB，EH=AG，于是得到GB+BH=AG+GB，推出△BHE是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质得到∠EBH=45°；（ II）如图2，当点G在点B的右侧时，根据全等三角形的想知道的GH=DA=AB，EH=AG，于是得到AB+BG=BG+GH，推出△BHE是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质得到∠EBH=45°；（ III）当点G与点B重合时，如图3，根据全等三角形的性质得到GH=DA=AB，EH=AG=AB，推出△GHE（即△BHE）是等腰直角三角形，于是得到∠EBH=45°即可得到结论．

试题解析：解： （1）90；

（2）①∵EH⊥AB，

∴∠GHE90°，

∴∠GEH+∠EGH90°，

又∠AGD+∠EGH90°，

∴∠GEH∠AGD，

∵四边形ABCD与四边形DGEF都是正方形，

∴∠DAG90°，DGGE，

∴∠DAG∠GHE，

在△DAG和△GHE中，

，

∴△DAG≌△GHE（AAS）；

②EH﹣BG的值是定值，

理由如下：由①证得：△DAG≌△GHE，

∴AGEH，

又AGABBG，AB4，

∴EHAB+BG，EH﹣BGAB4；

（3）下面分两种情况讨论：

（I）当点G在点B的左侧时，如图1，

同（2）①可证得：△DAG≌△GHE，

∴GHDAAB，EHAG，

∴GB+BHAG+GB，

∴BHAGEH，又∠GHE90°

∴△BHE是等腰直角三角形，

∴∠EBH45°；

（ II） 如图2，当点G在点B的右侧时，

由（2）①证得：△DAG≌△GHE．

∴GHDAAB，EHAG，

∴AB+BGBG+GH，

∴AGBH，又EHAG

∴EHHB，又∠GHE90°

∴△BHE是等腰直角三角形，

∴∠EBH45°；

（ III）当点G与点B重合时，

如图3，同理可证：△DAG≌△GHE，

∴GHDAAB，EHAGAB，

∴△GHE（即△BHE）是等腰直角三角形，

∴∠EBH45°

综上，在G点的整个运动（点G与点A重合除外）过程中，∠EBH都等于45°。