Question

【题目】提出问题：“周长一定的长方形，当邻边长度满足什么条件时面积最大？”

探究发现：如图所示，小敏用4个完全相同的、邻边长度分别为a、b的长方形拼成一个边长为（a+b）的正方形（其中a、b的和不变，但a、b的数值及两者的大小关系都可以变化）．仔细观察拼图，我们发现，如果右图中间有空白图形F，那么它一定是正方形

（1）空白图形F的边长为　 　；

（2）通过计算左右两个图形的面积，我们发现（a+b）2、（a﹣b）2和ab之间存在一个等量关系式．

①这个关系式是　 　；

②已知数x、y满足：x+y＝6，xy＝，则x﹣y＝　 　；

问题解决：

问题：“周长一定的长方形，当邻边长度满足什么条件时面积最大？”

①对于周长一定的长方形，设周长是20，则长a和宽b的和是　 　面积S＝ab的最大值为　 　，此时a、b的关系是　 　；

②对于周长为L的长方形，面积的最大值为　 　．

活动经验：

周长一定的长方形，当邻边长度a、b满足　 　时面积最大．

Answer 1

【答案】探究发现：（1）a﹣b；（2）①（a+b）2﹣（a﹣b）2＝4ab；②5或﹣5；问题解决：①10，25，a＝b；②L2；活动经验：a＝b．

【解析】

探究发现

（1）由图可知：空白图形F的边长为：a-b；

（2）①由矩形的性质得出左图形的面积为：2a×2b=4ab，由正方形的性质得出右图形的面积为：（a+b）2-（a-b）2，即可得出答案；

②由①得出（x-y）2=25，即可得出答案；

问题解决

①由长方形的性质得出a+b=10，面积S=ab=a（10-a）=-a2+10a=-（a-5）2+25，由二次函数的性质即可得出答案；

②由长方形的性质得出面积；由二次函数的性质即可得出答案；

活动经验

根据前面的问题即可得出结论．

（1）由图可知：空白图形F的边长为：a﹣b，

故答案为：a﹣b；

（2）①左图形的面积为：2a×2b＝4ab，

右图形的面积为：（a+b）2﹣（a﹣b）2，

∴（a+b）2﹣（a﹣b）2＝4ab，

故答案为：（a+b）2﹣（a﹣b）2＝4ab；

②由（a+b）2﹣（a﹣b）2＝4ab得：（x+y）2﹣（x﹣y）2＝4xy，

即：62﹣（x﹣y）2＝4×，

∴（x﹣y）2＝25，

∴x﹣y＝5或x﹣y＝﹣5，

故答案为：5或﹣5；

问题解决：

解：①∵长方形的周长是20，

∴2（a+b）＝20，

∴a+b＝10，则b＝10﹣a，

∴面积S＝ab＝a（10﹣a）＝﹣a2+10a＝﹣（a﹣5）2+25，

∴a＝5时，S＝ab的最大值为25，

此时a、b的关系是a＝b，

故答案为：10，25，a＝b；

②对于周长为L的长方形，

设一边长为a，则邻边长为﹣a，

∴面积；

∴面积的最大值为L2；

故答案为：L2；

活动经验：

解：周长一定的长方形，当邻边长度a、b满足a＝b时面积最大；

故答案为：a＝b．