Question

【题目】如图1，已知抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B两点，（点A在点B的左侧），与直线AC交于点C（2，3），直线AC与抛物线的对称轴l相交于点D，连接BD．

（1）求抛物线的函数表达式，并求出点D的坐标；
（2）如图2，若点M、N同时从点D出发，均以每秒1个单位长度的速度分别沿DA、DB运动，连接MN，将△DMN沿MN翻折，得到△D′MN，判断四边形DMD′N的形状，并说明理由，当运动时间t为何值时，点D′恰好落在x轴上？
（3）在平面内，是否存在点P（异于A点），使得以P、B、D为顶点的三角形与△ABD相似（全等除外）？若存在，请直接写出点P的坐标，若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：将点A（﹣1，0）、C（2，3）代入y=﹣x2+bx+c，得：

，

解得： ，

∴抛物线的解析式为y=﹣x2+2x+3，

∵y=﹣x2+2x+3=﹣（x﹣1）2+4，

∴抛物线的对称轴为直线x=1，

设直线AC的函数解析式为y=kx+b，

将A（﹣1，0）、C（2，3）代入y=kx+b，得：

，

解得： ，

∴直线AC的函数解析式为y=x+1，

又∵点D是直线AC与抛物线的对称轴的交点，

∴xD=1，yD=1+1=2，

∴点D的坐标为（1，2）

（2）

解：四边形DMD′N是正方形，理由如下：

∵抛物线y=﹣x2+2x+3与x轴交于A、B两点，

∴令y=0，得﹣x2+2x+3=0，

解得：x1=﹣1，x2=3，

∴A（﹣1，0）、B（3，0），

∴AD= =2 ，BD= =2 ，AB=1+3=4，

而AD2+BD2=AB2，

∴△ABD是等腰直角三角形，

∴∠DAB=∠DBA=45°，∠ADB=90°，

由翻折可知：D′M=DM、DN=ND′，

又∵DM=DN，

∴四边形MDND′为菱形，

∵∠MDN=90°，

∴四边形MDND′是正方形；

设DM=DN=t，当点D落在x轴上的点D′处时，

∵四边形MDND′为正方形，

∴∠D′NB=90°，

在Rt△D′NB中，D′N=t，BN=2 ﹣t，BD′=2，

∴t2+（2 ﹣t）2=22，

∴t1=t2= ，

即：经过 s时，点D恰好落在x轴上的D′处

（3）

解：存在，

如图，

由（2）知△ABD为等腰直角三角形，

∵△PBD与△ABD相似，且不全等，

∴△PBD是以BD为斜边的等腰直角三角形，

∴点P的坐标为（1，0）或（2，3）

【解析】（1）先利用待定系数法求得抛物线和直线的解析式，从而得出对称轴与直线的交点；（2）由抛物线解析式求得点A、B坐标，结合点D坐标可知△ABD为等腰直角三角形，即∠DAB=∠DBA=45°、∠ADB=90°，由翻折性质得D′M=DM、DN=ND′，从而得出四边形MDND′为菱形，根据∠MDN=90°即可得四边形MDND′为正方形；设DM=DN=t，在Rt△D′NB中D′N=t、BN=2 ﹣t、BD′=2，根据勾股定理即可得出t的值；（3）由△ABD为等腰直角三角形及△PBD与△ABD相似且不全等，知△PBD是以BD为斜边的等腰直角三角形，结合图形即可得答案．