Question

【题目】如图，已知正方形ABCD，点E是边AB的中点，点O是线段AE上的一个动点（不与A、E重合），以O为圆心，OB为半径的圆与边AD相交于点M，过点M作⊙O的切线交DC于点N，连接OM、ON、BM、BN．记△MNO、△AOM、△DMN的面积分别为S1、S2、S3 ， 则下列结论不一定成立的是（ ）
A.S1＞S2+S3
B.△AOM∽△DMN
C.∠MBN=45°
D.MN=AM+CN

Answer 1

【答案】A
【解析】解：（1.）如图，作MP∥AO交ON于点P，
∵点O是线段AE上的一个动点，当AM=MD时，
S梯形ONDA= （OA+DN）AD
S△MNO=S△MOP+S△MPN= MPAM+ MPMD= MPAD，
∵ （OA+DN）=MP，
∴S△MNO= S梯形ONDA ，
∴S1=S2+S3 ，
∴不一定有S1＞S2+S3 ，
（2.）∵MN是⊙O的切线，
∴OM⊥MN，
又∵四边形ABCD为正方形，
∴∠A=∠D=90°，∠AMO+∠DMN=90°，∠AMO+∠AOM=90°，
∴∠AOM=∠DMN，
在△AMO和△DMN中，
，
∴△AOM∽△DMN．
故B成立；
（3.）如图，作BP⊥MN于点P，

∵MN，BC是⊙O的切线，
∴∠PMB= ∠MOB，∠CBM= ∠MOB，
∵AD∥BC，
∴∠CBM=∠AMB，
∴∠AMB=∠PMB，
在Rt△MAB和Rt△MPB中，

∴Rt△MAB≌Rt△MPB（AAS）
∴AM=MP，∠ABM=∠MBP，BP=AB=BC，
在Rt△BPN和Rt△BCN中，

∴Rt△BPN≌Rt△BCN（HL）
∴PN=CN，∠PBN=∠CBN，
∴∠MBN=∠MBP+∠PBN，
MN=MP+PN=AM+CN．
故C，D成立，
综上所述，A不一定成立，
故选：A．
【考点精析】通过灵活运用正方形的性质和切线的性质定理，掌握正方形四个角都是直角，四条边都相等；正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角；正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形；正方形的对角线与边的夹角是45o；正方形的两条对角线把这个正方形分成四个全等的等腰直角三角形；切线的性质：1、经过切点垂直于这条半径的直线是圆的切线2、经过切点垂直于切线的直线必经过圆心3、圆的切线垂直于经过切点的半径即可以解答此题．