Question

【题目】如图，直线y＝2x＋2与x轴交于点A，与y轴交于点B，把△AOB沿y轴翻折，点A落到点C，过点B的抛物线y＝－x2＋bx＋c与直线BC交于点D(3，－4)

（1）求直线BD和抛物线对应的函数解析式；

（2）在抛物线对称轴上求一点P的坐标，使△ABP的周长最小；

（3）在第一象限内的抛物线上，是否存在一点M，作MN垂直于x轴，垂足为点N，使得以M，O，N为顶点的三角形与△BOC相似？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）y＝－2x＋2，y＝－x2＋x＋2；（2）()；（3）存在，M(1，2)或.

【解析】试题分析：（1）利用直线与坐标轴的交点坐标，求出抛物线的解析式，利用翻折得出点C的坐标，就可求出直线BD的解析式；（2）本题利用路径最短的知识来解决问题；（3）由（1）的解析式设M（a，-a2+a+2），当△BOC∽△MON或△BOC∽△ONM时，由相似三角形的性质就可以求出结论.

试题解析：(1)易得A(－1，0)，B(0，2)，C(1，0)．

设直线BD对应的函数解析式为y＝kx＋m.

把B(0，2)，C(1，0)的坐标分别代入y＝kx＋m，

得解得

∴直线BD对应的函数解析式为y＝－2x＋2.

∵抛物线对应的函数解析式为y＝－x2＋bx＋c.

∴把B(0，2)，D(3，－4)的坐标分别代入y＝－x2＋bx＋c，

得解得

∴抛物线对应的函数解析式为y＝－x2＋x＋2.

(2)对称轴为:点A(-1，0)关于对称轴的对称点为E（2.0）,连接BE交对称轴与点P,则BE的解析式为：y＝－x＋2 ,当x=时，BE与对称轴的交点坐标是P：().

(3)存在，①如图①，当△MON∽△BCO时，＝，即＝，∴MN＝2ON.设ON＝a，则M(a，2a)，∴－a2＋a＋2＝2a，解得a1＝－2(不合题意，舍去)，a2＝1，∴M(1，2)；②如图②，当△MON∽△CBO时，＝，即＝，∴MN＝ON.设ON＝n，则M，∴－n2＋n＋2＝，解得n1＝ (不合题意，舍去)，n2＝，∴M(，)．∴存在这样的点M(1，2)或.