Question

【题目】已知∠AOB=α（90°＜α＜180°），∠COD在∠AOB的内部，OM平分∠AOC，ON平分∠BOD．

（1）若∠COD=180°-α时，探索下面两个问题：

①如图1，当OC在OD左侧，求∠MON的度数；

②当OC在OD右侧，请在图2内补全图形，并求出∠MON的度数（用含α的代数式表示）；

（2）如图3，当∠COD=kα，且CO在OD左侧时，直接写出∠MON的度数（用含α，k的代数式表示）．

Answer 1

【答案】（1）①∠MON＝90°；②∠MON＝α90°；（2）∠MON的度数为（1＋k）α．理由见解析.

【解析】

（1）①根据角平分线的定义，得出∠AOM＝∠AOC，∠BON＝∠BOD，再根据∠AOB＝α，∠COD＝180°α，得出∠AOC＋∠BOD＝∠AOB∠COD＝α（180°α）＝2α180°，进而得出∠AOM＋∠BON＝（2α180°）＝α90°，最后根据∠MON＝∠AOB（∠AOM＋∠BON）进行计算即可；②根据①中的方法进行计算，即可得出∠MON的度数；
（2）先根据角平分线的定义，得出∠AOM＝∠AOC，∠BON＝∠BOD，再根据∠AOB＝α，∠COD＝kα，得出∠AOC＋∠BOD＝∠AOB∠COD＝αkα，进而得到∠AOM＋∠BON＝（αkα）＝α（1k），最后根据∠MON＝∠AOB（∠AOM＋∠BON）进行计算即可．

（1）①如图1，∵OM平分∠AOC，ON平分∠BOD，
∴∠AOM＝∠AOC，∠BON＝∠BOD，
∴∠AOM＋∠BON＝（∠AOC＋∠BOD），
∵∠AOB＝α，∠COD＝180°α，
∴∠AOC＋∠BOD＝∠AOB∠COD＝α（180°α）＝2α180°，
∴∠AOM＋∠BON＝（2α180°）＝α90°，
∴∠MON＝∠AOB（∠AOM＋∠BON）＝α（α90°）＝90°；
②当OC在OD右侧，补全图形如图2所画，
∵OM平分∠AOC，ON平分∠BOD，
∴∠AOM＝∠AOC，∠BON＝∠BOD，
∵∠AOB＝α，∠COD＝180°α，
∴∠AOC＋∠BOD＝∠AOB＋∠COD＝α＋（180°α）＝180°，
∴∠AOM＋∠BON＝×180°＝90°，
∴∠MON＝∠AOB（∠AOM＋∠BON）＝α90°；
（2）∠MON的度数为（1＋k）α．
理由：如图3，∵OM平分∠AOC，ON平分∠BOD，
∴∠AOM＝∠AOC，∠BON＝∠BOD，
∴∠AOM＋∠BON＝（∠AOC＋∠BOD），
∵∠AOB＝α，∠COD＝kα，
∴∠AOC＋∠BOD＝∠AOB∠COD＝αkα，
∴∠AOM＋∠BON＝（αkα）＝α（1k），
∴∠MON＝∠AOB（∠AOM＋∠BON）＝αα（1k）＝（1＋k）α．