Question

【题目】己知：为等边三角形，点E为射线AC上一点，点D为射线CB上一点，．

(1)如图1，当E在AC的延长线上且时，AD是的中线吗？请说明理由；

(2)如图2，当E在AC的延长线上时，等于AE吗？请说明理由;

(3)如图3，当D在线段CB的延长线上，E在线段AC上时，请直接写出AB、BD、AE的数量关系．

Answer 1

【答案】(1)是，理由见解析；(2)，理由见解析；(3).

【解析】

(1)由等边三角形的性质得∠BAC=∠ACD=60°，由等腰三角形的性质得∠CDE=∠E，再根据三角形外角的性质可得∠E=30°，继而可得 ∠DAC=∠E=30°，得出AD平分∠BAC，由此即可得AD是△ABC的中线；

(2)在AB上取BH=BD，连接DH，利用AHD≌△DCE得出DH=CE，得出AE=AB+BD，

(3)在AB上取AF=AE，连接DF，利用△AFD≌△EFD得出角的关系，得出△BDF是等腰三角形，根据边的关系得出结论AB-BD=AE．

(1)是，理由如下：

∵△ABC是等边三角形，

∴∠BAC=∠ACD=60°，

∵CE=CD，

∴∠CDE=∠E，

∵∠ACD=∠E+∠CDE，

∴∠E=30°，

∵AD=DE，

∴∠DAC=∠E=30°，

∴∠DAC=∠BAC，

即AD平分∠BAC，

∴AD是△ABC的中线；

(2)，理由如下：

如图2，在AB上取BH=BD，连接DH，

∵△ABC是等边三角形，

∴∠BAC=∠ACD=∠B=60°，AB=AC，

∴∠DCE=120°，△BDH是等边三角形，

∴DH=BD，∠DHB=60°，

∴∠AHD=120°，∠DHB=∠CAB，

∴∠DCE=∠AHD，DH//AC，

∵AD=DE，

∴∠E=∠DAC，

∵DH//AC，

∴∠HAD=∠DAC，

∴∠HAD=∠E，

∴△ADH≌△DEC，

∴DH=CE，

∴CE=BD，

∴AB+BD=AC+CE=AE；

(3)AE=AB-BD，理由如下：

如图3，在AB上取AF=AE，连接DF，EF，

∵△ABC是等边三角形，

∴∠BAC=∠ABC=60°，

∴△AEF是等边三角形，

∴AF=EF，∠AFE=∠AFE=∠FAE=60°，

∴∠AFE=∠ABC，

∴EF//BC，

∴∠FED=∠EDB，

∵AD=DE，DF=DF，AF=EF，

∴△ADF≌△EDF，

∴∠DAF=∠DEF，∠ADF=∠EDF，

∵∠DFB=∠DAF+∠ADF，∠FDB=∠EDF+EDB，

∴∠DFB=∠FDB，

∴BD=BF，

∵AB-BF=AF，

∴AB-BD=AE.