Question

【题目】如图，∠B=90°，O是AB上的一点，以O为圆心，OB为半径的圆与AB交于点E，与AC切于点D．若AD=2 ， 且AB、AE的长是关于x的方程x2﹣8x+k=0的两个实数根．
（1）求⊙O的半径．
（2）求CD的长．

Answer 1

【答案】解：（1）连接OD、DE、DB，设⊙O半径为r，
∵CD为⊙O切线，∴∠ODA=90°，
∵BE为⊙O直径，∴∠BDE=90°，
∴∠ADE=∠BDO，
∵OB=OD，∴∠OBD=∠ODB，
∵∠DAE=∠BAD，
∴△ADE∽△ABD，
∴，
∴ABAE=，
∵AB、AE的长是关于x的方程x2﹣8x+k=0的两个实数根，
∴k=12，
解方程x2﹣8x+12=0得：两个实数根为：2和6，
∴设半径的长为r，
可得半径r=×（6﹣2）=2；
（2）∵∠B=90°，
∴CB为⊙O切线，
∴CD=CB，
∴CB2+AB2=AC2 ，
∴CD2+62=（2+CD）2 ，
∴CD=2．
答：CD的长度为2．

【解析】（1）根据切线长定理得出ABAE的长=12，进而得出k的值，设半径的长为r，再代入切线长定理解答即可；
（2）根据切线长定理，即可得出CD=CB，由勾股定理得CD的长即可．
【考点精析】解答此题的关键在于理解切线的性质定理的相关知识，掌握切线的性质：1、经过切点垂直于这条半径的直线是圆的切线2、经过切点垂直于切线的直线必经过圆心3、圆的切线垂直于经过切点的半径．