Question

【题目】如图，在四边形中， ，是的中点，连接并延长交的延长线于点，点在边上，且．

（1）求证：≌．

（2）连接，判断与的位置关系并说明理由．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2），见解析

【解析】

（1）由AD与BC平行，利用两直线平行内错角相等，得到一对角相等，再由一对对顶角相等及E为AB中点得到一对边相等，利用AAS即可得出△ADE≌△BFE；

（2）∠GDF＝∠ADE，以及（1）得出的∠ADE＝∠BFE，等量代换得到∠GDF＝∠BFE，利用等角对等边得到GF＝GD，即三角形GDF为等腰三角形，再由（1）得到DE＝FE，即GE为底边上的中线，利用三线合一即可得到GE与DF垂直．

（1）证明：∵AD∥BC，

∴∠ADE＝∠BFE，

∵E为AB的中点，

∴AE＝BE，

在△ADE和△BFE中，

，

∴△ADE≌△BFE（AAS）；

（2）EG⊥DF，

理由如下：连接EG，

∵∠GDF＝∠ADE，∠ADE＝∠BFE，

∴∠GDF＝∠BFE，

∴DG＝FG，

由（1）得：△ADE≌△BFE

∴DE＝FE，

即GE为DF上的中线，

又∵DG＝FG，

∴EG⊥DF．