Question

【题目】如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB为直径，∠BAC的平分线交⊙O于点D，过点D的切线分别交AB，AC的延长线于E，F，连接BD．

（1）求证：AF⊥EF；
（2）若AC=6，CF=2，求⊙O的半径．

Answer 1

【答案】
（1）证明：

如图1，连接OD，

∵EF是⊙O的切线，且点D在⊙O上，

∴OD⊥EF，

∵OA=OD，

∴∠DAB=∠ADO，

∵AD平分∠BAC，

∴∠DAB=∠DAC，

∴∠ADO=∠DAC，

∴AF∥OD，

∴AF⊥EF；

（2）解：

如图2，过D作DG⊥AE于点G，连接CD，

∵∠BAD=∠DAF，AF⊥EF，DG⊥AE，

∴BD=CD，DG=DF，

在Rt△ADF和Rt△ADG中

∴Rt△ADF≌Rt△ADG（HL），

同理可得Rt△CDF≌Rt△BDG，

∴BG=CF=2，AG=AF=AC+CF=6+2=8，

∴AB=AG+BG=8+2=10，

∴⊙O的半径OA= AB=5．

【解析】（1）本题主要考查切线的性质及圆周角定理，连接OD，由切线的性质和已知条件可证得OD∥EF，再由平行线的判定则可证得所求的答案；
（2）通过过D作DG⊥AE于点G，连接CD，则可证得△ADF≌△ADG、△CDF≌△BDG，由三角形全等则可求得AB的长，再可求得圆的半径即可．