Question

【题目】某商店决定购进A、B两种纪念品．若购进A种纪念品8件，B种纪念品3件，需要95元；若购进A种纪念品5件，B种纪念品6件，需要80元．

（1）求购进A、B两种纪念品每件各需多少元？

（2）若该商店决定购进这两种纪念品共100件，考虑市场需求和资金周转，用于购买这100件纪念品的资金不少于750元，但不超过764元，那么该商店共有几种进货方案？

（3）已知商家出售一件A种纪念品可获利a元，出售一件B种纪念品可获利（5﹣a）元，试问在（2）的条件下，商家采用哪种方案可获利最多？（商家出售的纪念品均不低于成本价）

Answer 1

【答案】（1）A、B两种纪念品的价格分别为10元和5元；（2）该商店共有3种进货方案（3）若时，购进52件A纪念品，48件B纪念品获利最大；若时，购进50件A纪念品，50件B纪念品获利最大；若时，此时三种进货方案获利相同．

【解析】

（1）设A种纪念品每件x元，B种纪念品每件y元，根据购进A种纪念品8件，B种纪念品3件，需要95元和购进A种纪念品5件，B种纪念品6件，需要80元，列出方程组，再进行求解即可；

（2）设商店最多可购进A纪念品m件，则购进B纪念品（100-m）件，根据购买这100件纪念品的资金不少于750元，但不超过764元，列出不等式组，再进行求解即可；

（3）将总利润y表示成所进A纪念品件数x的函数，分类讨论，根据函数的单调性判断那种方案利润最大．

解：（1）设A、B两种纪念品的价格分别为x元和y元，则

，解得．

答：A、B两种纪念品的价格分别为10元和5元．

（2）设购买A种纪念品m件，则购买B种纪念品（100- m）件，则
750≤10m+5(100-m)≤764，
解得50≤m≤52.8，
∵m为正整数，
∴m=50，51，52，
即有三种方案．
第一种方案：购A种纪念品50件，B种纪念品50件；
第二种方案：购A种纪念品51件，B种纪念品49件；
第三种方案：购A种纪念品52件，B种纪念品48件；

（3）设商家购进x件A纪念品，所获利润为y，
则y=ax+（100-x）（5-a）=（2a-5）x+500-100a．

∵商家出售的纪念品均不低于成本，

，即0≤a≤5．

①若2a-5＞0即时，y=（2a-5）x+500-100a，y随x增大而增大．

此时购进52件A纪念品，48件B纪念品获利最大．

②若2a-5＜0，即时，y=（2a-5）x+500-100a，y随x增大而减小．

此时购进50件A纪念品，50件B纪念品获利最大．

③若2a-5=0，即时，则y=250，为常数函数，
此时三种进货方案获利相同．