Question

【题目】如图，以BC为底边的等腰△ABC，点D，E，G分别在BC，AB，AC上，且EG∥BC，DE∥AC，延长GE至点F，使得BE=BF．

（1）求证：四边形BDEF为平行四边形；

（2）当∠C=45°，BD=2时，求D，F两点间的距离．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）．

【解析】试题分析：（1）由等腰三角形的性质得出∠ABC=∠C，证出∠AEG=∠ABC=∠C，四边形CDEG是平行四边形，得出∠DEG=∠C，证出∠F=∠DEG，得出BF∥DE，即可得出结论；

（2）证出△BDE、△BEF是等腰直角三角形，由勾股定理得出BF的值，作FM⊥BD于M，连接DF，则△BFM是等腰直角三角形，由勾股定理得出FM的值，进而得出DM=3，在Rt△DFM中，由勾股定理求出DF即可．

试题解析：（1）证明：∵△ABC是等腰三角形，∴∠ABC=∠C，∵EG∥BC，DE∥AC，∴∠AEG=∠ABC=∠C，四边形CDEG是平行四边形，∴∠DEG=∠C，∵BE=BF，∴∠BFE=∠BEF=∠AEG=∠ABC，∴∠F=∠DEG，∴BF∥DE，∴四边形BDEF为平行四边形；

（2）解：∵∠C=45°，∴∠ABC=∠BFE=∠BEF=45°，∴△BDE、△BEF是等腰直角三角形，∴BF=BE= BD=，作FM⊥BD于M，连接DF，如图所示：

则△BFM是等腰直角三角形，∴FM=BM=BF=1，∴DM=3，在Rt△DFM中，由勾股定理得：DF= =，即D，F两点间的距离为．