Question

【题目】如图1，延长⊙O的直径AB至点C，使得BC=AB，点P是⊙O上半部分的一个动点（点P不与A、B重合），连结OP，CP．

（1）∠C的最大度数为 　；

（2）当⊙O的半径为3时，△OPC的面积有没有最大值？若有，说明原因并求出最大值；若没有，请说明理由；

（3）如图2，延长PO交⊙O于点D，连结DB，当CP=DB时，求证：CP是⊙O的切线．

Answer 1

【答案】（1）30°；（2）有最大值为9，理由见解析；（3）证明见解析.

【解析】试题分析：（1）当PC与⊙O相切时，∠OCP的度数最大，根据切线的性质即可求得；

（2）由△OPC的边OC是定值，得到当OC边上的高为最大值时，△OPC的面积最大，当PO⊥OC时，取得最大值，即此时OC边上的高最大，于是得到结论；

（3）根据全等三角形的性质得到AP=DB，根据等腰三角形的性质得到∠A=∠C，得到CO=OB+OB=AB，推出△APB≌△CPO，根据全等三角形的性质得到∠CPO=∠APB，根据圆周角定理得到∠APB=90°，即可得到结论．

试题解析：（1）当PC与⊙O相切时，∠OCP最大．如图1，所示：

∵sin∠OCP===，∴∠OCP=30°

∴∠OCP的最大度数为30°，

故答案为：30°；

（2）有最大值，理由：

∵△OPC的边OC是定值，∴当OC边上的高为最大值时，△OPC的面积最大，

而点P在⊙O上半圆上运动，当PO⊥OC时，取得最大值，即此时OC边上的高最大，

也就是高为半径长，∴最大值S△OPC=OCOP=×6×3=9；

（3）连结AP，BP，如图2，

在△OAP与△OBD中， ，∴△OAP≌△OBD，∴AP=DB，

∵PC=DB，∴AP=PC，

∵PA=PC，∴∠A=∠C，

∵BC=AB=OB，∴CO=OB+OB=AB，

在△APB和△CPO中， ，∴△APB≌△CPO，∴∠CPO=∠APB，

∵AB为直径，∴∠APB=90°，∴∠CPO=90°，

∴PC切⊙O于点P，即CP是⊙O的切线．