Question

【题目】如图，直线AB、CD相交于点O，OE平分∠BOD．

（1）若∠AOC=70°，∠DOF=90°，求∠EOF的度数；

（2）若OF平分∠COE，∠BOF=15°，若设∠AOE=x°．

①用含x的代数式表示∠EOF；

②求∠AOC的度数．

Answer 1

【答案】（1）55°（2）①x②100°

【解析】

（1）由对顶角的性质可知∠BOD=70°，从而可求得∠FOB=20°，由角平分线的定义可知∠BOE=∠BOD，最后根据∠EOF=∠BOE+∠FOB求解即可；
（2）①先证明∠AOE=∠COE= x°，然后由角平分线的定义可知∠FOE=x°；
②∠BOE=∠FOE-∠FOB可知∠BOE=x°-15°，最后根据∠BOE+∠AOE=180°列出方程可求得x的值，从而可求得∠AOC的度数．

解：（1）由对顶角相等可知：∠BOD=∠AOC=70°，
∵∠FOB=∠DOF-∠BOD，

∴∠FOB=90°-70°=20°，
∵OE平分∠BOD，

∴∠BOE=∠BOD=×70°=35°，
∴∠EOF=∠FOB+∠BOE=35°+20°=55°；
（2）①∵OE平分∠BOD，
∴∠BOE=∠DOE，
∵∠BOE+∠AOE=180°，∠COE+∠DOE=180°，

∴∠COE=∠AOE=x°，
∵OF平分∠COE，

∴∠EOF=x°；
②∵∠BOE=∠FOE-∠FOB，

∴∠BOE=x°-15°，
∵∠BOE+∠AOE=180°，

∴x°-15°+x°=180°，解得：x=130，
∴∠AOC=2∠BOE=2×（180°-130°）=100°．