Question

【题目】（本题满分11分）让我们一起探索有趣的“皮克定理”：用水平线和竖直线将平面分成若干个边长为1的小正方形格子，小正方形的顶点，叫格点，以格点为顶点的多边形叫格点多边形．设格点多边形的面积为S，它各边上格点的个数和为x．

．

（1）上图中的格点多边形，其内部都只有一个格点，请完成下表，并写出S与x之间的关系式：S=______．

（2）探索：在上面网格图中画出四个格点多边形，其内部都只有两个格点，并写出所画的各个多边形的面积S与它各边上格点的个数和x之间的关系式：S=______；

（3）猜想：当格点多边形内部有且只有n个格点时，S与x之间的关系式是：S=______．

Answer 1

【答案】（1），3 ， ；（2）作图见解析， ＋1；（3）＋（n-1）．

【解析】试题分析：（1）分别算出②和③的面积，再探索规律；（2）先画出四个图形，再求出四个图形的面积，最后探索面积S和x的关系；（3）由（1）（2）问求出的S与x的关系探索规律.

解：（1）图②的面积为S=4-×1×2-×1×1=，图③的面积为S=4-×1×1-×1×1=3，

根据2， ，3，4对应4，5，6，8，可知S和x的关系为S=x；

故答案为，3， .

（2）如图，分别画出四个格点多边形⑤⑥⑦⑧，其内部都只有两个格点.

图⑤中x=3，S=；图⑥中，x=4，S=3；图⑦中，x=5,S=；图⑧中，x=6，S=4.

则可知此时S= ＋1；

（3）当n=1时，S= ；

当n=2时，S= ＋1.

则可知＋（n-1）.