Question

【题目】如图，正方形OABC的顶点O在坐标原点，顶点A的坐标为（4，3）
（1）顶点C的坐标为（ ， ），顶点B的坐标为（ ， ）；
（2）现有动点P、Q分别从C、A同时出发，点P沿线段CB向终点B运动，速度为每秒1个单位，点Q沿折线A→O→C向终点C运动，速度为每秒k个单位，当运动时间为2秒时，以P、Q、C为顶点的三角形是等腰三角形，求此时k的值．
（3）若正方形OABC以每秒 个单位的速度沿射线AO下滑，直至顶点C落到x轴上时停止下滑．设正方形OABC在x轴下方部分的面积为S，求S关于滑行时间t的函数关系式，并写出相应自变量t的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）﹣3；4；1；7
（2）

解：由题意得，AO=CO=BC=AB=5，

当t=2时，CP=2．

①当点Q在OA上时，∵PQ≥AB＞PC，

∴只存在一点Q，使QC=QP．

作QD⊥PC于点D（如图2中），则CD=PD=1，

∴QA=2k=5﹣1=4，

∴k=2．②当点Q在OC上时，由于∠C=90°所以只存在一点Q，使CP=CQ=2，

∴2k=10﹣2=8，∴k=4．

综上所述，k的值为2或4

（3）

解：①当点A运动到点O时，t=3．

当0＜t≤3时，设O’C’交x轴于点E，作A’F⊥x轴于点F（如图3中）．

则△A’OF∽△EOO’，

∴ = = ，OO′= t，

∴EO′= t，

∴S= t2．②当点C运动到x轴上时，t=4

当3＜t≤4时（如图4中），设A’B’交x轴于点F，

则A’O=A′O= t﹣5，

∴A′F= ．

∴S= （ + t）×5= ．

综上所述，S=

【解析】解：（1）如图1中，作CM⊥x轴于，AN⊥x轴于N．连接AC、BO交于点K．

易证△AON≌△COM，可得CM=ON=4，OM=AN=3，
∴C（﹣3，4），∵CK=AK，OK=BK，
∴K（ ， ），B（1，7），
所以答案是﹣3，4，1，7
【考点精析】本题主要考查了正方形的性质和坐标与图形变化-平移的相关知识点，需要掌握正方形四个角都是直角，四条边都相等；正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角；正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形；正方形的对角线与边的夹角是45o；正方形的两条对角线把这个正方形分成四个全等的等腰直角三角形；新图形的每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这两个点是对应点；连接各组对应点的线段平行且相等才能正确解答此题．