Question

【题目】抛物线y=x2﹣2mx﹣3m2（m＞0）与x轴交于A、B两点，A点在B点左边，与y轴交于C点，顶点为M．
（1）当m=1时，求点A、B、M坐标；
（2）如图（1）的条件下，若P为抛物线上一个动点，以AP为斜边的等腰直角的直角顶点Q在对称轴上，（A、P、Q按顺时针方向排列），求P点坐标．

（3）如图2，若一次函数y=kx+b过B点且与抛物线只有一个公共点，平移直线y=kx+b，使其过抛物线的顶点M，与抛物线另一个交点为D，与x轴交于F点，当m变化时，求证：DF：MF是定值．

Answer 1

【答案】
（1）解：当m=1时，抛物线解析式为y=x2﹣2x﹣3，

当y=0时，x2﹣2x﹣3=0，解得x1=﹣1，x2=3，则A（﹣1，0），B（3，0）；

∵y=（x﹣1）2﹣4，

∴M点坐标为（1，﹣4）；

（2）解：抛物线的对称轴为直线x=1，直线x=1交x轴于N，设P（t，t2﹣2t﹣3），Q（1，a）

作PH⊥直线x=1于点H，如图，

∵△APQ为等腰直角三角形，

∴PQ=AQ，∠AQP=90°，

∵∠AQH+∠AQN=90°，∠AQN+∠QAN=90°，

∴∠PQH=∠QAN，

在△PQH和△QAN中

，

∴△PQH≌△QAN，

∴QH=AN，PH=QN，

即t2﹣2t﹣3﹣a=2，1﹣t=a，

∴t2﹣2t﹣3﹣（1﹣t）=2，

整理得t2﹣t﹣5=0，解得t1= ，t2= ，

∴P点坐标为（ ， ）或（ ， ）；

（3）解：证明：y=x2﹣2mx﹣3m2=（x﹣m）2﹣4m2，则M（m，﹣4m2），

当y=0时，x2﹣2mx﹣3m2=0，解得x1=﹣m，x2=3m，则B（3m，0），

把B（3m，0）代入y=kx+b得3mk+b=0，解得b=﹣3mk，

则直线y=kx+b的解析式表示为y=kx﹣3mk，

∵一次函数y=kx﹣3mk与抛物线只有一个公共点，

∴方程x2﹣2mx﹣3m2=kx﹣3mk有相等的实数解，

方程整理为x2﹣（2m+k）x﹣3m2+3mk=0，

∵△=（2m+k）2﹣4（﹣3m2+3mk）=0，

∴k=4m，

∴一次函数y=kx+b表示为y=4mx﹣12m2，

设直线y=kx+b平移后的解析式为y=4mx+n，

把M（m，﹣4m2）代入得﹣4m2=﹣4m2+n，解得n=﹣8m2，

即经过点D的直线解析式为y=4mx﹣8m2，

当y=0时，4mx﹣8m2=0，解得x=2m，则F（2m，0）

解方程组 得 或 ，则D（5m，12m2）

作AG⊥x轴于E，MG∥x轴，它们相交于点G，如图2，

∵EF∥MG，

∴ = = =3．

【解析】（1）把m=1代入得到抛物线的解析式，然后利用配方法可求得点M的坐标，接下来，令y=0可求得对应的x的值，从而可得到点A和点B的坐标；
（2）设P（t，t2﹣2t﹣3），Q（1，a），作PH⊥直线x=1于点H，首先证明△PQH≌△QAN，依据全等三角形的性质可得到QH=AN，PH=QN，从而可得到关于a、t的方程组，解方程组可求得点P的坐标；
（3）作AG⊥x轴于E，MG∥x轴，它们相交于点G，利用配方法求得抛物线的顶点坐标为M（m，﹣4m2），然后令y=0可求得B（3m，0），把B（3m，0）代入y=kx+b得3mk+b=0，求得b的值，从而得直线的解析式为y=kx﹣3mk，接下来，将y=kx﹣3mk代入抛物线的解析式，得到关于x的方程，然后由一次函数y=kx﹣3mk与抛物线只有一个公共点可得到△=0，从而可得到k与m的关系，设直线y=kx+b平移后的解析式为y=4mx+n，把点M的坐标代入可得到n=﹣8m2，则经过点D的直线解析式为y=4mx﹣8m2，然后再求得点F的坐标，解方程组可求得点D的坐标，最后，依据平行线分线段成比例定理求解即可.