Question

【题目】如图①，已知线段AC∥y轴，点B在第一象限，且AO平分∠BAC，AB交y轴于G，连接OB，OC.

(1)判断△AOG的形状，并予以证明；

(2)若点B，C关于y轴对称，求证：AO⊥BO；

(3)在(2)的条件下，如图②，点M为OA上一点，且∠ACM＝45°，BM交y轴于P，若点B的坐标为(3，1)，求点M的坐标．

Answer 1

【答案】（1）△AOG是等腰三角形；（2）见解析；（3）M(－1，3)．

【解析】

(1)、利用已知条件可证明∠GOA=∠GAO，由等腰三角形的判定可得AG=OG，所以△AOG是等腰三角形；(2)、由已知可得BP=CP，因为AC∥y轴，可得GA=GB；根据等腰三角形的性质得出∠GOB=∠GBO，∠AOG=∠OAG，所以∠AOG+∠BOG=∠OAG+∠OBG，即∠AOB=∠OAG+∠OBG，即可求得∠AOB=90°；(2)、先证得BM是∠ABC的平分线，设∠OBC=x，则x+∠POB=90°，而∠POA+∠POB=∠AOB=90°，求得x=∠POA，进一步证得x=∠GAM．根据∠OMB=∠GAM+∠ABM=x+∠ABM=x+∠PBM=∠MBO，得出OB=OM，然后证明出△OMF和△BOH全等，根据点B的坐标得出点M的坐标．

(1)解：△AOG的形状是等腰三角形

证明如下：∵AC∥y轴，∴∠CAO＝∠GOA， ∵AO平分∠BAC，∴∠CAO＝∠GAO，

∴∠GOA＝∠GAO，∴AG＝OG，∴△AOG是等腰三角形．

(2)证明：如图①，连接BC，过点O作OE⊥AB于点E，过点C作CD⊥x轴于点D.

∵B，C关于y轴对称，AC∥y轴，∴OB＝OC，AC⊥BC，∴点A，C，D在同一条直线上．

∵AO为∠CAB的平分线，∴OD＝OE.

在Rt△COD和Rt△BOE中，OD=OE，OC=OB，∴△COD≌△BOE(HL)，∴∠DCO＝∠EBO.

∵∠DCO＋∠ACO＝180°，∴在四边形ACOB中，∠ACO＋∠EBO＝180°，

∴∠BAC＋∠BOC＝180°， 设∠BAO＝∠CAO＝x，∠OBC＝∠OCB＝y，

∴2x＋∠BOC＝180°，2y＋∠BOC＝180°，∴x＝y， ∴∠OAC＝∠OBC，

∴∠AOB＝∠ACB＝90°，∴AO⊥OB．

(3)解：如图②，连接BC，过点M作MF⊥x轴于F，过点B作BH⊥x轴于H，

由(2)可知∠ACB＝90°， ∵∠ACM＝45°，∴CM平分∠ACB，

又∵AM平分∠BAC，∴BM平分∠ABC.设∠ABM＝∠CBM＝z，

由(2)可得∠OMB＝x＋z，∠OBM＝y＋z＝x＋z，∴∠OMB＝∠OBM，∴OM＝OB，

∴△OBM为等腰直角三角形． ∵∠BOH＋∠MOF＝90°，∠MOF＋∠FMO＝90°，

∴∠FMO＝∠BOH，

在△OMF和△BOH中，∠MFO=∠OHB=90°，∠FMO=∠HOB，OM=OB，∴△OMF≌△BOH(AAS)．

又∵点B的坐标为(3，1)，∴OF＝BH＝1，MF＝OH＝3，∴M(－1，3)．