Question

【题目】已知Rt△OAB，∠OAB＝90°，∠ABO＝30°，斜边OB＝4，将Rt△OAB绕点O顺时针旋转60°，点D与点A为对应点，画出Rt△ODC，并连接BC．

（1）填空：∠OBC＝_____°；

（2）如图，连接AC，作OP⊥AC，垂足为P，求OP的长度是_____．

Answer 1

【答案】（1）60；（2）

【解析】

(1)由旋转得OB=OC，∠BOC=60°，推出△BOC是等边三角形，即可得到答案；

(2)根据已知条件求出OA及AB的长度，利用等边三角形的性质得到BC=4，由此利用勾股定理求出AC=，过点C作CH⊥AO于点H，则四边形ABCH是矩形，得到CH=AB=，再根据面积法即可求出OP.

(1)由旋转得OB=OC，∠BOC=60°，

∴△BOC是等边三角形，

∴∠OBC=60°，

故答案为：60；

(2)∵∠OAB＝90°，∠ABO＝30°，OB＝4，

∴OA=2，

∴AB=,

∵△BOC是等边三角形，

∴BC=OB=4，

∵∠ABC=∠ABO+∠OBC=90°，

∴,

过点C作CH⊥AO于点H，则四边形ABCH是矩形，

∴CH=AB=，

∵,

∴,

∴OP=,

故答案为：.