Question

【题目】如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，点D是弧BC的中点，DE⊥AC于点E，DE⊥AB于点F．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若OF=2，求AC的长度．

Answer 1

【答案】
（1）证明：连接OD、AD．

∵点D是 的中点，

∴ = ，

∴∠DAO=∠DAC，

∵OA=OD，

∴∠DAO=∠ODA，

∴∠DAC=∠ODA，

∴OD∥AE，

∵DE⊥AE，

∴∠AED=90°，

∴∠AED=∠ODE=90°，

∴OD⊥DE，

∴DE是⊙O的切线

（2）解：连接BC．

∵AB是⊙O直径，

∴∠ACB=90°，

∵OD∥AE，

∴∠DOB=∠EAB，

∵∠DFO=∠ACB=90°，

∴△DFO∽△BCA，

∴ = = ，

即 = ，

∴AC=4

【解析】（1）连接OD、AD．只要证明OD∥AE，由DE⊥AC，推出DE⊥OD即可解决问题；（2）连接BC．只要证明△DFO∽△BCA，推出 = = 即可解决问题；
【考点精析】解答此题的关键在于理解勾股定理的概念的相关知识，掌握直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方,即;a2+b2=c2，以及对垂径定理的理解，了解垂径定理：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．