Question

【题目】如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°．
（1）请用直尺和圆规按下列步骤作图，保留作图痕迹：
①作∠ACB的平分线，交斜边AB于点D；
②过点D作AC的垂线，垂足为点E．
（2）在（1）作出的图形中，若CB=4，CA=6，则DE=

Answer 1

【答案】
（1）

如图所示：

（2）
【解析】解：（1）如图所示；
如图所示：

（2）解：∵DC是∠ACB的平分线，
∴∠BCD=∠ACD，
∵DE⊥AC，BC⊥AC，
∴DE∥BC，∴∠EDC=∠BCD，
∴∠ECD=∠EDC，∴DE=CE，
∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴ ，
设DE=CE=x，则AE=6﹣x，
∴ ，
解得：x= ，
即DE= ，故答案为： ．
（1）以C为圆心，任意长为半径画弧，交BC，AC两点，再以这两点为圆心，大于这两点的线段的一半为半径画弧，过这两弧的交点与C在直线交AB于D即可，根据过直线外一点作已知直线的垂线的方法可作出垂线即可；
　　　　（2）根据平行线的性质和角平分线的性质推出∠ECD=∠EDC，进而证得DE=CE，由DE∥BC，推出△ADE∽△ABC，根据相似三角形的性质即可推得结论．本题考查了角的平分线的性质，平行线的性质，等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质，基本作图，解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．