Question

【题目】定义：对于给定的两个函数，任取自变量x的一个值，当x＜0时，它们对应的函数值互为相反数；当x≥0时，它们对应的函数值相等，我们称这样的两个函数互为相关函数．例如：一次函数y=x﹣1，它的相关函数为y= ．
（1）已知点A（﹣5，8）在一次函数y=ax﹣3的相关函数的图象上，求a的值；
（2）已知二次函数y=﹣x2+4x﹣ ．①当点B（m， ）在这个函数的相关函数的图象上时，求m的值；
②当﹣3≤x≤3时，求函数y=﹣x2+4x﹣ 的相关函数的最大值和最小值；
（3）在平面直角坐标系中，点M，N的坐标分别为（﹣ ，1），（ ，1），连结MN．直接写出线段MN与二
次函数y=﹣x2+4x+n的相关函数的图象有两个公共点时n的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：函数y=ax﹣3的相关函数为y= ，将点A（﹣5，8）代入y=﹣ax+3得：5a+3=8，解得：a=1．
（2）解：二次函数y=﹣x2+4x﹣ 的相关函数为y=

①当m＜0时，将B（m， ）代入y=x2﹣4x+ 得m2﹣4m+ = ，解得：m=2+ （舍去）或m=2﹣ ．

当m≥0时，将B（m， ）代入y=﹣x2+4x﹣ 得：﹣m2+4m﹣ = ，解得：m=2+ 或m=2﹣ ．

综上所述：m=2﹣ 或m=2+ 或m=2﹣ ．

②当﹣3≤x＜0时，y=x2﹣4x+ ，抛物线的对称轴为x=2，此时y随x的增大而减小，

∴此时y的最大值为 ．

当0≤x≤3时，函数y=﹣x2+4x﹣ ，抛物线的对称轴为x=2，当x=0有最小值，最小值为﹣ ，当x=2时，有最大值，最大值y= ．

综上所述，当﹣3≤x≤3时，函数y=﹣x2+4x﹣ 的相关函数的最大值为 ，最小值为﹣ ；

（3）解：如图1所示：线段MN与二次函数y=﹣x2+4x+n的相关函数的图象恰有1个公共点．

所以当x=2时，y=1，即﹣4+8+n=1，解得n=﹣3．

如图2所示：线段MN与二次函数y=﹣x2+4x+n的相关函数的图象恰有3个公共点

∵抛物线y=x2﹣4x﹣n与y轴交点纵坐标为1，

∴﹣n=1，解得：n=﹣1．

∴当﹣3＜n≤﹣1时，线段MN与二次函数y=﹣x2+4x+n的相关函数的图象恰有2个公共点．

如图3所示：线段MN与二次函数y=﹣x2+4x+n的相关函数的图象恰有3个公共点．

∵抛物线y=﹣x2+4x+n经过点（0，1），

∴n=1．

如图4所示：线段MN与二次函数y=﹣x2+4x+n的相关函数的图象恰有2个公共点．

∵抛物线y=x2﹣4x﹣n经过点M（﹣ ，1），

∴ +2﹣n=1，解得：n= ．

∴1＜n≤ 时，线段MN与二次函数y=﹣x2+4x+n的相关函数的图象恰有2个公共点．

综上所述，n的取值范围是﹣3＜n≤﹣1或1＜n≤ ．

【解析】（1）因为点在函数图像上，把点的坐标代入解析式;（2）对于点B（m， ）,由于m不知正负，因此需分类讨论;（2）由于﹣3≤x≤3有正又有负，因此需分段：3≤x＜0和0≤x≤3，分别对应着相关函数的两段解析式，分别求最大值和最小值，最后比较两段函数的最大值的较大着作为整个函数的最大值;（3）需数形结合，按照抛物线与y轴的交点由低到高，可推出﹣3＜n≤﹣1或1＜n≤ .
【考点精析】根据题目的已知条件，利用二次函数的性质的相关知识可以得到问题的答案，需要掌握增减性：当a>0时，对称轴左边，y随x增大而减小；对称轴右边，y随x增大而增大；当a<0时，对称轴左边，y随x增大而增大；对称轴右边，y随x增大而减小．