Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，直线y=﹣x﹣3与x轴交于点A，与y轴交于点C，抛物线y=x2+bx+c经过A、C两点，与x轴交于另一点B

（1）求抛物线的解析式；

（2）点D是第二象限抛物线上的一个动点，连接AD、BD、CD，当S△ACD=S四边形ACBD时，求D点坐标；

（3）在（2）的条件下，连接BC，过点D作DE⊥BC，交CB的延长线于点E，点P是第三象限抛物线上的一个动点，点P关于点B的对称点为点Q，连接QE，延长QE与抛物线在A、D之间的部分交于一点F，当∠DEF+∠BPC=∠DBE时，求EF的长．

Answer 1

【答案】（1）y=x2+2x﹣3（2）（﹣4，5）（3）3+

【解析】试题分析：(1)、首先求出点A和点C的坐标，然后将其代入二次函数解析式，利用待定系数法求出函数解析式；(2)、首先求出AB的长度，然后根据面积之间的关系得出点E的坐标，从而得出直线CE的函数解析式，将一次函数和二次函数联立成方程组，从而得出点D的坐标；(3)、过点D作DN⊥x轴，垂足为N，过点P作PM⊥x轴，垂足为M，利用待定系数法求出直线BC和直线DE的函数解析式，从而求出点E的坐标，利用两点之间的距离公式得出BC和CE的长度，证明出△PCB和△QEB全等，将y=3代入二次函数解析式，从而得到点F的坐标，最后求出EF的长度．

试题解析：（1）解：∵令x=0得：y=﹣3， ∴C（0，﹣3）．

令y=0得：﹣x﹣3=0，解得x=﹣3， ∴A（﹣3，0）．

将A、C两点的坐标代入抛物线的解析式的： ，解得： ．

∴抛物线的解析式为y=x2+2x﹣3

（2）解：如图1所示： 令y=0得：x2+2x﹣3=0，解得x=﹣3或x=1． ∴AB=4．

∵S△ACD= S四边形ACBD ， ∴S△ADC：S△DCB=3：5． ∴AE：EB=3：5． ∴AE=4× = ．

∴点E的坐标为（﹣ ，0）．

设EC的解析式为y=kx+b，将点C和点E的坐标代入得： ，

解得：k=﹣2，b=﹣3． ∴直线CE的解析式为y=﹣2x﹣3．

将y=﹣2x﹣3与y=x2+2x﹣3联立，解得：x=﹣4或x=0（舍去），

将x=﹣4代入y=﹣2x﹣3得：y=5， ∴点D的坐标为（﹣4，5）．

（3）解：如图2所示：过点D作DN⊥x轴，垂足为N，过点P作PM⊥x轴，垂足为M．

设直线BC的解析式为y=kx+b，将点C和点B的坐标代入得： ，

解得：k=3，b=﹣3， ∴直线BC的解析式为y=3x﹣3．

设直线DE的解析式为y=﹣ x+n，将点D的坐标代入得：﹣ ×（﹣4）+n=5，

解得：n=5﹣ = ． ∴直线DE的解析式为y=﹣ x+ ，

将y=3x﹣3与y=﹣ x+ 联立解得：x=2，y=3． ∴点E坐标为（2，3）．

依据两点间的距离公式可知：BC=CE= ．

∵点P与点Q关于点B对称， ∴PB=BQ．

在△PCB和△QEB中 ， ∴△PCB≌△QEB．

∴∠BPC=∠Q． 又∵∠DEF+∠BPC=∠DBE，∠DEF=∠QEG，∠EGB=∠Q+∠QEG

∴∠DBE=∠DGB． 又∵∠DBE+∠BDE=90°， ∴∠DGB+∠BDG=90°，即∠PBD=90°．

∵D（﹣4，5），B（1，0）， ∴DM=NB． ∴∠DBN=45°． ∴∠PBM=45°．

∴PM=MB 设点P的坐标为（a，a2+2a﹣3），则BM=1﹣a，PM=﹣a2﹣2a+3．

∴1﹣a=﹣a2﹣2a+3，解得：a=﹣2或a=1（舍去）． ∴点P的坐标为（﹣2，3）．

∴PC∥x轴． ∵∠Q=∠BPC， ∴EQ∥PC． ∴点E与点F的纵坐标相同．

将y=3代入抛物线的解析式得：x2+2x﹣3=3，解得：x=﹣1﹣或x=﹣1+（舍去）．

∴点F的坐标为（﹣1 ，3）． ∴EF=2﹣（﹣1﹣）=3+．