1.式子1²+2²+3²+…+n²=在(   )

A.n为任何自然数时都成立

B.n=1,2时成立,n=3时不成立

C.n=4时成立,n=5时不成立

D.n=3时成立,n=4时不成立

解析用数学归纳法证题的前提是分清等式两边的构成情况,就本题而言,它的左边是从1开始的n个连续正整数的平方和的形式,可采用直接代入法求解.

答案 D

2.设,若f(x)存在,则常数b的值是(    )

A.0           B.1           C.-1        D.e

分析 本题考查f(x)=a的充要条件：

f(x)=f(x)=a.

解 ∵(2x+b)=b,e^x=1,

又条件f(x)存在,∴b=1.

答案 B

3.用数学归纳法证明+cosα+cos3α+…+cos(2n-1)α=??

(α≠kπ,n∈N*),验证n=1等式成立时,左边计算所得的项是(    )

A.                     　　B.+cosα

C.+cosα+cos3α           　　D.+cosα+cos3α+cos5α

分析　分清等式左边的构成情况是解决此题的关键;对于本题也可把n=1代入右边化简得出左边.

解法一　因为等式的左边是(n+1)项的形式,故n=1时,应保留两项,它们是+cosα.

解法二　当n=1时,右边=sincos=?(sin2α+sinα)= (sinαcosα+sinα)=+cosα.

答案　B

4.数列1,,,,…,…的前n项和为S_n,则等于(    )

A.0            B.             C.1             D.2

分析 本题考查数列极限的求法.要求数列{a_n}的前n项和,应首先确定它的通项公式.

解 ∵a_n==

∴S_n=a₁+a₂+…+a_n=2(1-+-+…+-)=.

∴S_n=.

答案 D

5.★若,则a的值为（   ）

A.0               B.1               C.-1               D.

分析 本题考查当x→x₀时函数的极限.

解 ∵存在，而把x=2代入分母时，分母为零，

∴分子、分母应有（x-2)这一公因式，化简以后，再求极限.

∴分子x²+ax-2可分解成（x-2)(x+1)，

即x²+ax-2=(x-2)(x+1)=x²-x-2.

∴a=-1.

答案 C

6.等于(   )

A.0            B.-1             C.1              D.不存在

分析 本题考查函数f(x)的极限.若把x=-1代入函数解析式,解析式无意义,故应化简函数解析式,约去使它的分母为0的因式,再求解.

解 =

==

=

答案 B

7.★已知数列{a_n}是由正数组成的数列,a₁=3,且满足lga_n=lga_n-1+lgc,其中n>1且为整数,c>2,则等于(    )

A.-1          B.1        C.        D.

分析 本题考查数列的极限及运算能力.

解 ∵a_n>0,lga_n=lga_n-1+lgc,

∴a_n=a_n-1?c,=c,

即数列{a_n}是首项为a₁=3,公比为c的等比数列,a_n=3?c^n-1(c>2),

答案 A

8.★欲用数学归纳法证明对于足够大的自然数n,总有2_n>n³,n₀为验证的第一个值,则(    )

A.n₀=1

B.n₀为大于1小于10的某个整数

C.n₀≥10

D.n₀=2

解析 本题考查用数学归纳法证明问题时,第一步初始值n₀的确定.不能认为初始值都从n₀=1开始,需根据实际题目而定.当1≤n＜10时,2ⁿ与n³的大小不确定,而当n≥10时,总有2ⁿ>n³.

答案 C

9.★用数学归纳法证明命题“n³+(n+1)³+(n+2)³(n∈N)能被9整除”,要利用归纳假设证n=k+1时的情况,只需展开(　　　)

A.(k+3)³　　　　　　　　　B.(k+2)³

C.(k+1)³D.(k+1)³+(k+2)³

分析　本题考查用数学归纳法证明整除性问题.只需把n=k+1时的情况拼凑成一部分为假设的形式,另一部分为除数的倍数形式即可.

解　当n=k+1时,被除数为(k+1)³+(k+2)³+(k+3)³=k³+(k+1)³+(k+2)³+9(k²+3k+3).故只需展开(k+3)³即可.

答案　A

10. 则a的取值范围是(    )

A.a=1                         B.a＜-1或a＞

C.-1＜a＜                    D.a＜-或a＞1

分析 本题考查极限qⁿ=0,|q|＜1.要求a的范围,可列a的不等式,要注意分式不等式的解法.

解法一 ∵()ⁿ=0,∴||＜1

∴a＜-1或a＞.

解法二 本题可利用特殊值代入法,当a=1时成立,排除C、D.再令a=,∵()ⁿ=0成立,∴排除A.

答案 B

第Ⅱ卷(非选择题共60分)

11.用数学归纳法证明,假设n=k时,不等式成立,则当n=k+1时,应推证的目标不等式是              .

解析 因为自变量取n时,不等式的左边为n项和的形式,所以当n=k+1时应为k+1项的和,它们是,右边只需把n=k+1代入即可,它们是,故应推证的不等式是

答案

12.()=                   .

分析 本题考查数列极限的运算.此题属于“∞-∞”型,应先分子有理化,再求极限.

解 (n-n+1)==

答案 0

13.★设函数在x=0处连续,则实数a的值为           .

分析 本题考查函数的极限及函数f(x)在点x₀处连续的定义.

解 ∵函数f(x)在点x₀处连续,

又∵f(0)=a,∴a=.

答案

14.已知,则a的值为           .

分析　本题考查f(x)的极限.因为把x=x₀代入分式的分子,分子不为0.又因为f(x)存在,所以把x=x₀代入分母,分母必不为0.故采用直接代入法即可求极限.

解 ∵

答案

15.(本小题满分8分)平面内有n个圆,其中每两个圆都相交于两点,并且每三个圆都不相交于同一点,求证:n个圆把平面分成f(n)=n²-n+2个部分.

分析 本题的关键在于如何应用归纳假设及已知条件分析当n=k+1时,第k+1个圆与其他k个圆的交点个数,做到有目的的变形.

证明 (1)当n=1时,一个圆把平面分成两部分,又1²-1+2=2,故命题成立.

(2)假设n=k(k∈N*)时,命题成立,即满足题设条件的k个圆把平面分成f(k)=k²-k+2个部分.2分

那么当n=k+1时,设第k+1个圆为⊙O,由题意,它与k个圆中每个圆交于两点,又无三个圆交于同一点,于是它与其他k个圆交于2k个点,这些点把⊙O分成2k条弧,即f(k+1)=f(k)+2k=k²-k+2+2k=(k+1)²-(k+1)+2.    6分

这就是说,当n=k+1时,命题也成立.

综上可知,对一切n∈N*,命题都成立.    8分

16.(本小题满分8分)设f(x)是一次函数，f(8)=15,且f(2),f(5),f(4)成等比数列，求.

分析 本题为函数、数列、极限的一道综合题.解题关键是先利用待定系数法确定f(x)的解析式，再求f(1)+f(2)+…+f(n),然后利用极限的运算法则求极限.

解 设f(x)=kx+b,

由条件，得8k+b=15,∴b=15-8k.

∵f (2), f (5), f (4)成等比数列,

∴(5k+b)²=(2k+b)(4k+b).      2分

把b=15-8k代入，

得(15-3k)²=(15-6k)(15-4k).

解得k=4,k=0(舍）,b=-17.

∴f(x)=4x-17.       4分

∴f(1)+f(2)+…+f(n)

=(4×1-17)+(4×2-17)+…+(4×n-17)

=4×(1+2+…+n)-17n

=4?-17n=2n²-15n.    6分

∴

=　　　　　8分

17.(本小题满分8分)某校有教职工150人,为了丰富教工的课余生活,每天定时开放健身房和娱乐室.据调查统计,每次去健身房的人有10%下次去娱乐室,则在娱乐室的人有20%下次去健身房.请问,随着时间的推移,去健身房的人数能否趋于稳定?

分析 本题考查用数列的递推公式求通项及数列的极限.

解 设第n次去健身房的人数为a_n,去娱乐室的人数为b_n,则a_n+b_n=150,              2分

∴a_n=a_n-1+b_n-1=a_n-1+(150-a_n-1)=a_n-1+30,

即a_n=a_n-1+30.                  4分

∴a_n-100=(a_n-1-100).于是a_n-100=(a₁-100)?()^n-1,即a_n=100+()^n-1?(a₁-100).  6分

∴a_n=100.故随着时间的推移,去健身房的人数稳定在100人左右.              8分

18.(本小题满分10分)已知数列{a_n}、{b_n},其中a_n=1+3+5+…+(2n+1),bn=2ⁿ+4(n≥5),试问是否存在这样的自然数n,使得a_n≤b_n成立？

分析 对n赋值后,比较几对a_n与b_n的大小,可作出合理猜测,再用数学归纳法予以证明.

解 a_n=1+3+5+…+(2n+1)=(n+1)²,

当n=5时,a₅=36,b₅=2⁵+4=36,此时a₅=b₅;

当n=6时, a₆=49,b₆=2⁶+4=68,此时a₆<b₆;

当n=7时,a₇=64,b₇=2⁷+4=132,此时a₇<b₇;

当n=8时,a₈=81,b₈=2⁸+4=260,此时a₈<b₈.

猜想:当n≥6时,有a_n<b_n.         3分

下面用数学归纳法证明上述猜想.

①当n=6时,显然不等式成立,∴n=6时,不等式a_n<b_n成立;

②假设当n=k(k≥6)时,不等式成立,即a_k<b_k,也即(k+1)²<2k+4;当n=k+1时，b_k+1=2^k+1+4=2(2^k+4)-4>2(k+1)²-4=2k²+4k-2,

而(2k²+4k-2)-(k+2)²=k²-6>0(∵k≥6,∴k²＞6),

即2k²+4k-2>(k+2)²=［(k+1)+1］².

由不等式的传递性,知b_k+1>［(k+1)+1］²=a_k+1.

∴当n=k+1时,不等式也成立.    8分

由①②可知,对一切n∈N,且n≥6,都有a_n<b_n.

综上所述,可知只有当n=5时,a_n=b_n;当n≥6时,a_n＜b_n.因此存在使a_n≤b_n成立的自然数n.

10分

19.★(本小题满分10分)已知数列{a_n}、{b_n}都是无穷等差数列,其中a₁=3,b₁=2,b₂是a₂与a₃的等差中项,且.求极限的值.

分析 首先需求出a_n、b_n的表达式,以确定所求极限的表达式,为此,关键在于求出两个数列的公差,“b₂是a₂与a₃的等差中项”已给出一个等量关系,“a_n与b_n之比的极限为”又给出了另一个等量关系,故可考虑先设出公差用二元方程组求解.

解 设{a_n}、{b_n}的公差分别为d₁、d₂,

∵2b₂=a₂+a₃,即2(2+d₂)=(3+d₁)+(3+2d1),

∴2d₂-3d₁=2.①    2分

又

即d₂=2d₁,②       4分

联立①②解得d₁=2,d₂=4.

∴a_n=a₁+(n-1)d₁=3+(n-1)?2=2n+1,

b_n=b₁+(n-1)d₂=2+(n-1)?4=4n-2.     6分

10分