1．若集合P = { y?y = lg x，x＞1 }，Q = {－2，－1，1，2 }，则 (_RP )∩Q等于

A．{－2，－1，1，2 }               B．（－∞，0）

C．（0，+∞）                       D．{－2，－1 }

2．设a = log₃2，b = log₂3，，则

A．a＜b＜c       B．a＜c＜b     C．b＜a＜c       D．b＜c＜a

3．化简：

A．i             B．－i          C．1             D．－1

4．若向量a =（1, m）和b =（2m + 3, －m）共线，其中m∈R，则?a－b?=

A．2或0        B．2         C．2或2      D．4或20

5．下列四个函数中，图象如右图所示的只能是

A．y = x + lg x（x＞0）     B．y = x－lg x（x＞0）

C．y =－x + lgx（x＞0）    D．y =－x－lg x（x＞0）

6．若实数x、y满足约束条件

则2x + 3y的最大值为

A．2          B．6         C．8          D．9

7．计算：=

A．1          B．－1       C．2          D．－2

8．已知直线a、b、c和平面a，则a∥b的一个必要不充分条件是

A．a⊥c且b⊥c              B．a∥c且b∥c

C．a∥a 且b∥a             D．a、b与a 所成角相等

9．从8名学生（其中男生6人，女生2人）中按性别用分层抽样的方法抽取4人参加接力比赛，若女生不排在最后一棒，则不同的安排方法种数为

A．1440      B．960     C．720           D．360

10．△ABC中，角A满足sin⁴A－cos⁴A≤cosA－sinA，则

A．0＜A≤                B．0＜A≤

C．≤A≤              D．≤A＜

11．若椭圆（a＞b＞0）的离心率，右焦点为F（c，0），方程ax² + 2bx + c = 0的两个实数根分别是x₁和x₂，则点P（x₁，x₂）到原点的距离为

A．     B．        C．2          D．

12．已知函数  给出函数f（x）的下列五个结论：

① 最小值为； ② 一个单增区间是（，）；③ 其图象关于直线（k∈Z）对称； ④ 最小正周期为2p； ⑤ 将其图象向左平移后所得的函数是奇函数． 其中正确结论的个数是

A．1          B．2           C．3          D．4

绵阳市高中2009届第三次诊断性考试

数  学（理科）

第Ⅱ卷（共90分）

注意事项：

1．用钢笔或圆珠笔直接答在试卷中．

2．答卷前将密封线内的项目填写清楚．

题号

二

三

总分

总分人

总 分

复查人

17

18

19

20

21

22

分数

得分

评卷人

13．等比数列 { a_n } 中，若a₁，a₇，a₄ 成等差数列，则数列{ a_n }的公比为              ．

14． 的展开式中常数项等于              ．

15．已知不平行于x轴的直线y = kx + b（b＞0）与抛物线x² = 2py（p＞0）交于A、B两点，点A、B到y轴的距离的差等于2k，则抛物线的焦点坐标为              ．

16．设A、B、C是球面上三点，线段AB = 2，若球心到平面ABC的距离的最大值为，则球

的表面积等于              ．

得分

评卷人

17．（本题满分12分）

在△ABC中，角A，B，C所对的边长分别是a，b，c．

（1）若sin C + sin（B－A）= sin 2A，试判断△ABC的形状；

（2）若△ABC的面积S = 3，且c =，C =，求a，b的值．

得分

评卷人

18．（本题满分12分）

春暖大地，万物复苏．目前已进入绿化造林的黄金季节，到处都能看到绿化工人（绿化员）和参加义务植树的百姓植树种草、绿化环境的身影．某8人（5男3女）绿化组，为了提

高工作效率，开展小组间的比赛，现分成A、B两个小组，每个小组4人．

（1）求A、B两组中有一组恰有一名女绿化员的概率；

（2）求A组中女绿化员人数 x 的数学期望．

得分

评卷人

19．（本题满分12分）

四棱锥P－ABCD中，侧面PAD⊥底面ABCD．ABCD是矩形，BC = 2 CD = 2．又 PA = PD，∠APD = 90°，E、G分别是BC、PE的中点．

（1）求证：AD⊥PE；

（2）求二面角E－AD－G的大小；

（3）求点D到平面AEG的距离．

得分

评卷人

20．（本题满分12分）

已知函数，m∈R．

（1）若f（x）在（0，1 内是减函数，求m的取值范围；

（2）是否存在实数m，使x在函数的定义域内取任意值时，f (x)≤－3恒成立？若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由．

得分

评卷人

21．（本题满分12分）

已知双曲线（a＞0，b＞0）的两条渐近线互相垂直，F（2，0）是它的一个焦点．

（1）求双曲线的方程；

（2）过点F作互相垂直的两条直线l₁、l₂，l₁交双曲线于A、B两点，l₂交双曲线于C、D两点，求的值．

得分

评卷人

22．（本题满分14分）

（Ⅰ）当x＞0时，比较 ln（1 + x）与 x 的大小．

（Ⅱ）已知数列 { a_n } 中，a₁ = 1，对任意n∈N^*，．

（1）当n≥2时，求证：；

（2）试利用（Ⅰ）中的结论证明：a_n＜e²，其中e是自然对数的底数．

绵阳市高中2009级第三次诊断性考试

数学（理科）参考解答及评分标准

DABC            BDAD            CBAC

13．q = 1或      14．－     15．（0，）   16．16p

17．（1）由题意得 sin（B + A）+ sin（B－A）= sin 2A，

sin B cos A = sin A cos A，即 cos A（sin B－sin A）= 0，

∴  cosA = 0 或 sin B = sinA A．                            …………… 4分

因A，B为三角形中的角，于是或B = A．

所以△ABC为直角三角形或等腰三角形．                       …………… 6分

（2）因为△ABC的面积等于 3，所以 ，得 ab = 12．

由余弦定理及已知条件，得 a² + b²－ab = 13．

联立方程组 解得或       …………… 12分

18．（1）设“A、B两组中有一组恰有一名女绿化员”为事件A₁，

则 ．                                          …………… 4分

（2）x 可取0，1，2，3．                                       …………… 6分

，，

，，                …………… 10分

所以 ．                     …………… 12分

19．（1）如图，取AD的中点O，连结OP，OE，于是OP⊥AD．

∵ 侧面PAD⊥底面ABCD， ∴ OP⊥面ABCD．

∵ E是矩形ABCD的边BC的中点，

∴ OE∥AB，∴ OE⊥AD，从而 AD⊥PE．……… 4分

（2）取OE的中点F，连结FG，OG，则 FG∥OP，

∴ FG⊥面ABCD，AD⊥OG，

∴ ∠GOE就是二面角E－AD－G的平面角．

∵ FG =OP =，OF =CD =，

∴ ∠GOE = 45°，即二面角E－AD－G的大小为45°．  …………… 8分

（3）由（1）知，O是AD的中点，所以点D到面AEG的距离等于点O到面AEG的距离h的2倍．

∵ V_P－AOE =S_△AOE×OP =×AO ・OE ・ OP =．

又 AE = AP = PE =，∴ V_O－AEP =S_△AEP ・ h =×・ h =h,

从而由 V_P－AOE = V_O－AEP 得 h =，故点D到面AEG的距离等于．

…………… 12分

另解（2）  以O为原点，OE、OD、OP所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，则A（0，－1，0），D（0，1，0），E（1，0，0），G（，0，），∴ ，1，），，1，）．

设平面ADG的一个法向量为n₁ =（x₁，y₁，z₁），

则  且 ，于是y₁ = 0，令 x₁ = 1，得 n₁ =（1，0，－1）．显然平面ADE的一个法向量可以为n₂ =（0，0，1）．

∵ cos<n₁，n₂>==，∴ <n₁，n₂> = 135°．

由题图可知二面角E－AD－G的大小为45°．

20．（1）函数 f（x）的定义域为（0，+∞）．

∵ ，

∴ 当 f（x）在（0，1 内是减函数，有f ′（x）≤0，

即 ≤0，得m≥，由于此式对任意的x∈（0，1 成立，所以m≥0．                                                                …………… 6分

（2）当m＞0时，若x→0，则f（x）→+∞，说明f（x）≤－3不恒成立，故m不能为正数．                                                             …………… 7分

当m = 0时，f（x）=－，在x∈（0，+∞），也不能使f（x）≤－3恒成立，故m≠0．                                                                …………… 8分

当m＜0时，因x∈（0，+∞），所以f（x）＜0．

假设f（x）≤－3恒成立，即≤－3，而 x＞0，则 m≤．

设 g（x）=，x＞0，有g′（x）== 0，得 x = 4．

∵ 当x∈（0，4）时，g′（x）＜0；当x∈（4，+∞）时，g′（x）＞0，

∴ g（x）在x = 4时取得最小值g（4）=－4，从而 m≤－4．…… 12分

21．（1）∵ 双曲线的渐近线方程为，∴ ，

得 a² = b²，于是 c² = a² + b² = 2a² = 4，因此 a² = 2，b² = 2．

所以双曲线的方程为．                              …………… 3分

（2）① 当直线l₁、l₂其中一条与x轴垂直，不妨设l₁⊥x轴时，

则，，，．

∴ ，，

∴ ．                                             …………… 5分

② 当直线l₁、l₂都不与x轴垂直时，

设l₁：y = k（x－2），k≠0，则 l₂：．

由  消去y，整理得（k²－1）x²－4k²x + 4k² + 2 = 0．

∵ l₁与双曲线有两个交点为A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），

∴ ，，且 得 k≠±1．

又 y₁y₂ = k (x₁－2) k (x₂－2)，，，

∴ (1 + k² )(x₁－2) (x₂－2)

         = (1 + k²) [ x₁x₂－2(x₁ + x₂) + 4 ] =．         ………… 8分

以代k得 ， ∴ ．

综合①②，得．                                   …………… 12分

22．（Ⅰ）设f（x）= ln（1 + x）－x，x＞－1．

则当时，有x = 0．

∴ 当 f ′（x）＞0时，得－1＜x＜0，表明函数f（x）的增区间是（－1，0）；当 f ′（x）＜0时，得x＞0，表明f（x）的减区间是（0，+∞），即函数f（x）= ln（1 + x）－x 在（0，+∞）上是减函数，∴ f（x）＜ f（0），即 ln（1 + x）－x＜0，得 ln（1 + x）＜x（x＞0）．              …………… 4分

（Ⅱ）（1）要证，因为，则问题等价于只需证a_n＞2（n≥2）．

① 当n = 2时，有 a₂ =，a_n＞2成立．   ………… 6分

② 假设当n = k（k≥2）时，结论成立，即a_k＞2，则当n = k + 1时有

，结合归纳假设a_k＞2，

得＞2，所以a_k+1＞2．

由①②可知：当n≥2时，有a_n＞2成立，也即．

…………… 9分

（2）a₁ = 1＜e²显然成立．

∵ ，∴ ，

所以 ，n≥2．

又  ．

当n≥2时，有，

，

…………

，

将上述n－1个不等式相加，得

．

因为 ,

，

所以 ，即 ln a_n＜2，所以a_n＜e²．

…………… 14分

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