1.       设a=(1,-2),b=(-3,4),c=(3,2),则(a+2b)・c=

A.(-15,12)　　　　B.0            C.-3                D.-11

2.       若非空集合A,B,C满足A∪B=C，且B不是A的子集，则

A.“x∈C”是“x∈A”的充分条件但不是必要条件

B. “x∈C”是“x∈A”的必要条件但不是充分条件

C. “x∈C”是“x∈A”的充分条件

D. “x∈C”是“x∈A”的充分条件也不是“x∈A”必要条件

3.       用与球心距离为1的平面去截球，所得的截面面积为π，则球的休积为

A.            B.             C.              D.        

4.       函数f(x)=的定义域为

A.(- ∞,-4)［∪2,+ ∞］                B.(-4,0) ∪(0,1)

C. ［-4,0］∪（0，1）］　　　　　　　　D. ［－4，0∪（0，1）

5.将函数y=3sin（x-θ）的图象F按向量（，3）平移得到图象F′,若F′的一条对称轴是直线x=,则θ的一个可能取值是

A.      B.           C.         D.

6.将5名志愿者分配到3个不同的奥运场馆参加接待工作，每个场馆至少分配一名志愿者的方案种数为

A.540             B.300         C.180         D.150

7.若f(x)=上是减函数，则b的取值范围是

A.[-1，+∞]       B.（-1，+∞） C.（-∞，-1）   D.（-∞，-1）

8.已知m∈N*,a,b∈R，若,则a・b=

A．-m           B．m         C．-1          D．1

9.过点A（11，2）作圆的弦，其中弦长为整数的共有

A.16条          B.17条        C.32条        D.34条

10.如图所示，“嫦娥一号”探月卫星沿地月转移轨道飞向月球，在月球附近一点P轨进入以月球球心F为一个焦点的椭圆轨道I绕月飞行，之后卫星在P点第二次变轨进入仍以F为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行，最终卫星在P点第三次变轨进入以F为圆心的圆形轨道Ⅲ绕月飞行，若用2c₁和2c₂分别表示椭轨道Ⅰ和Ⅱ的焦距，用2a₁和2a₂分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的长轴的长，给出下列式子：

①a₁+c₁=a₂+c₂;②a₁-c₁=a₂-c₂;③c₁a₂＞a₁c₁;④＜.

其中正确式子的序号是

A.①③　　　　　　　B.②③　　　　C.①④　　　　D.②④

11.设z₁=z₁-z₁(其中z₁表示z₁的共轭复数)，已知z₂的实部是-1，则z₂的虚部为       .

12．在△ABC中，三个角A，B，C的对边边长分别为a=3,b=4,c=6,则bc cosA+ca cosB+ab cosC的值为          .

13.已知函数f(x)=x²+2x+a,f(bx)=9x-6x+2,其中x∈R，a,b为常数，则方程f(ax+b)=0的解集为

             .

14.已知函数f(x)=2^x,等差数列{a_x}的公差为2.若f(a₂+a₄+a_b+a₂+a₁)=4,则

Log₂[f(a₁)・f(a₂)・f(a)・…・f(a₁₀)]=             .

15.观察下列等式：

……………………………………

可以推测，当x≥2（k∈N*）时，         

a_k-2=           .

16.（本小题满分12分）

已知函数f(t)=

（Ⅰ）将函数g(x)化简成Asin(ωx+φ)+B（A＞0，ω＞0，φ∈[0，2π]）的形式；

（Ⅱ）求函数g(x)的值域.

17.（本小题满分12分）

袋中有20个大小相同的球，其中记上0号的有10个，记上n号的有n个（n=1,2,3,4）.现从袋中任取一球.ξ表示所取球的标号.

（Ⅰ）求ξ的分布列，期望和方差；

（Ⅱ）若η=aξ-b,Eη=1,Dη=11,试求a,b的值.

18.（本小题满分12分）

如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，平面ABC⊥侧面A₁ABB₁.

（Ⅰ）求证：AB⊥BC；

（Ⅱ）若直线AC与平面A₁BC所成的角为θ,二面角A₁-BC-A的大小为φ的大小关系，并予以证明.

19.（本小题满分13分）

如图，在以点O为圆心，|AB|=4为直径的半圆ADB中，OD⊥AB，P是半圆弧上一点，

∠POB=30°，曲线C是满足||MA|-|MB||为定值的动点M的轨迹，且曲线C过点P.

（Ⅰ）建立适当的平面直角坐标系，求曲线C的方程；

（Ⅱ）设过点D的直线l与曲线C相交于不同的两点E、F.

若△OEF的面积不小于2，求直线l斜率的取值范围.

20.(本小题满分12分)

水库的蓄水量随时间而变化，现用t表示时间，以月为单位，年初为起点，根据历年数据，某水库的蓄水量（单位：亿立方米）关于t的近似函数关系式为

V（t）=

（Ⅰ）该水库的蓄求量小于50的时期称为枯水期.以i-1＜t＜t表示第1月份（i=1,2,…,12）,同一年内哪几个月份是枯水期？

（Ⅱ）求一年内该水库的最大蓄水量（取e=2.7计算）.

21.(本小题满分14分)

已知数列{a_n}和{b_n}满足：a₁=λ,a_n+1=其中λ为实数，n为正整数.

（Ⅰ）对任意实数λ，证明数列{a_n}不是等比数列；

（Ⅱ）试判断数列{b_n}是否为等比数列，并证明你的结论；

（Ⅲ）设0＜a＜b,S_n为数列{b_n}的前n项和.是否存在实数λ，使得对任意正整数n，都有

a＜S_n＜b?若存在，求λ的取值范围；若不存在，说明理由.

2008年普通高等学校招生全国统一考试（湖北卷）

数学（理工农医类）

5.       设,,则

A.　　　　B.           C.              D.

解：，，选C

6.       若非空集合满足，且不是的子集，则

A. “”是“”的充分条件但不是必要条件

B. “”是“”的必要条件但不是充分条件

C. “”是“”的充要条件

D. “”既不是“”的充分条件也不是“”必要条件

解：,但是, 所以B正确。

另外画出韦恩图，也能判断B选项正确

7.       用与球心距离为的平面去截球，所得的截面面积为，则球的体积为

A.           B.           C.           D.     

解：截面面积为截面圆半径为1，又与球心距离为球的半径是，

所以根据球的体积公式知，故B为正确答案． 

8.       函数的定义域为

A.             B.  

C.  　　　　　 　　 D.

解：函数的定义域必须满足条件：

5.将函数的图象F按向量平移得到图象,若的一条对称轴是直线,则的一个可能取值是

A.          B.           C.          D.

解： 平移得到图象的解析式为,

对称轴方程，

把带入得，令，

6.将5名志愿者分配到3个不同的奥运场馆参加接待工作，每个场馆至少分配一名志愿者的方案种数为    A. 540        B. 300        C. 180         D. 150

解：将５分成满足题意的３份有１，１，３与２，２，１两种，

所以共有 种方案，故Ｄ正确．

7.若上是减函数，则的取值范围是

A.       B.        C.       D.

解：由题意可知，在上恒成立，

即在上恒成立，由于，所以，故Ｃ为正确答案．

8.已知,，若,则

A．          B．         C．        D．

解：

另外易知由洛必达法则，所以

9.过点作圆的弦，其中弦长为整数的共有

A.  16条         B. 17条        C. 32条        D. 34条

解：圆的标准方程是：，圆心，半径

过点的最短的弦长为10，最长的弦长为26,（分别只有一条）

还有长度为的各2条，所以共有弦长为整数的条。

10.如图所示，“嫦娥一号”探月卫星沿地月转移轨道飞向月球，在月球附近一点轨进入以月球球心为一个焦点的椭圆轨道Ⅰ绕月飞行，之后卫星在点第二次变轨进入仍以为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行，最终卫星在点第三次变轨进入以为圆心的圆形轨道Ⅲ绕月飞行，若用和分别表示椭轨道Ⅰ和Ⅱ的焦距，用和分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的长轴的长，给出下列式子：

①;    ②;     ③;      ④＜.

其中正确式子的序号是

A. ①③　　　　　　　B. ②③　　　   　C. ①④　　  　  　D. ②④

解：由焦点到顶点的距离可知②正确，由椭圆的离心率知③正确，故应选Ｂ．

11.设(其中表示z₁的共轭复数)，已知z₂的实部是，则z₂的虚部为     .

解：设，由复数相等

12．在△中，三个角的对边边长分别为,则的值为          .

解：由余弦定理，原式

13.已知函数,,其中,为常数，则方程的解集为             .

解：由题意知所以

，所以解集为。

14.已知函数,等差数列的公差为.若,则

            .

解：依题意，所以

15.观察下列等式：

……………………………………

可以推测，当≥2（）时，                   .

解：由观察可知当，每一个式子的第三项的系数是成等差数列的，所以，

第四项均为零，所以。

16.（本小题满分12分）

已知函数

（Ⅰ）将函数化简成（，，）的形式；

（Ⅱ）求函数的值域.

解.本小题主要考查函数的定义域、值域和三角函数的性质等基本知识，考查三角恒等变换、代数式的化简变形和运算能力.（满分12分）

解：（Ⅰ）

       　＝

（Ⅱ）由得

在上为减函数，在上为增函数，

又（当），

即

故g(x)的值域为

17.（本小题满分12分）

袋中有20个大小相同的球，其中记上0号的有10个，记上号的有个（=1,2,3,4）.现从袋中任取一球.表示所取球的标号.

（Ⅰ）求的分布列，期望和方差；

（Ⅱ）若, ,,试求a,b的值.

解：本题考查概率、随机变量的分布列、期望和方差等概念，以及基本的运算能力.（满分12分）

解：（Ⅰ）的分布列为：

0

1

2

3

4

P

∴

（Ⅱ）由，得a²×2.75＝11，即又所以

当a=2时，由1＝2×1.5+b,得b=-2;

当a=-2时，由1＝-2×1.5+b，得b=4.                                                     

∴或即为所求.

18.（本小题满分12分）

如图，在直三棱柱中，平面侧面.

（Ⅰ）求证：；

（Ⅱ）若直线与平面所成的角为,二面角的大小为，试判断与的大小关系，并予以证明.

解：本小题主要考查直棱柱、直线与平面所成角、二面角和线面关系等有关知识，同时考查空间想象能力和推理能力.（满分12分）

（Ⅰ）证明：如右图，过点A在平面A₁ABB₁内作

AD⊥A₁B于D，则

由平面A₁BC⊥侧面A₁ABB₁,且平面A₁BC侧面A₁ABB₁=A₁B,得

AD⊥平面A₁BC,又BC平面A₁BC，

所以AD⊥BC.

因为三棱柱ABC―A₁B₁C₁是直三棱柱，

则AA₁⊥底面ABC，

所以AA₁⊥BC.

又AA₁AD=A,从而BC⊥侧面A₁ABB₁，

又AB侧面A₁ABB₁，故AB⊥BC.

（Ⅱ）解法1：连接CD，则由（Ⅰ）知是直线AC与平面A₁BC所成的角，

是二面角A₁―BC―A的平面角，即

于是在Rt△ADC中，在Rt△ADB中，

由AB＜AC，得又所以

解法2：由（Ⅰ）知，以点B为坐标原点，以BC、BA、BB₁所在的直线分

别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，设AA₁=a,AC=b,

AB=c,则 B(0,0,0), A(0,c,0), 于是

设平面A₁BC的一个法向量为n=(x,y,z)，则

由得

可取n=(0,-a,c)，于是与n的夹角为锐角，则与互为余角.

所以

于是由c＜b，得

即又所以

19.（本小题满分13分）

如图，在以点为圆心，为直径的半圆中，，是半圆弧上一点，

，曲线是满足为定值的动点的轨迹，且曲线过点.

（Ⅰ）建立适当的平面直角坐标系，求曲线的方程；

（Ⅱ）设过点的直线l与曲线相交于不同的两点、.

若△的面积不小于，求直线斜率的取值范围.

解：本小题主要考查直线、圆和双曲线等平面解析几何的基础知识，考查轨迹方程的求法、不等式的解法以及综合解题能力.（满分13分）

（Ⅰ）解法1：以O为原点，AB、OD所在直线分别为x轴、y轴，建立平面直角坐标系，则A（-2，0），B（2，0），D(0,2),P（），依题意得

｜MA｜-｜MB｜=｜PA｜-｜PB｜＝＜｜AB｜＝4.

∴曲线C是以原点为中心，A、B为焦点的双曲线.

设实平轴长为a，虚半轴长为b，半焦距为c，

则c＝2，2a＝2，∴a²=2,b²=c²-a²=2.

∴曲线C的方程为.

解法2：同解法1建立平面直角坐标系，则依题意可得｜MA｜-｜MB｜=｜PA｜-｜PB｜＜

｜AB｜＝4.

∴曲线C是以原点为中心，A、B为焦点的双曲线.

设双曲线的方程为＞0，b＞0）.

解得a²=b²=2,

∴曲线C的方程为

(Ⅱ)解法1：依题意，可设直线l的方程为y＝kx+2，代入双曲线C的方程并整理得（1-k²）x²-4kx-6=0.

∵直线l与双曲线C相交于不同的两点E、F，

                       ②

设E（x，y），F(x₂,y₂)，则由①式得x₁+x₂=,于是

｜EF｜＝

＝

而原点O到直线l的距离d＝，

∴S_△DEF=

若△OEF面积不小于2,即S_△OEF，则有

        ③

综合②、③知，直线l的斜率的取值范围为 

解法2：依题意，可设直线l的方程为y＝kx+2，代入双曲线C的方程并整理，

得（1-k²）x²-4kx-6=0.

∵直线l与双曲线C相交于不同的两点E、F，

∴.

.                                      ②

设E(x₁,y₁),F(x₂,y₂),则由①式得

｜x₁-x₂｜=           ③

当E、F在同一去上时（如图1所示），

S_△OEF＝

当E、F在不同支上时（如图2所示）.

S_△ODE=

综上得S_△OEF＝于是

由｜OD｜＝2及③式，得S_△OEF=

若△OEF面积不小于2

     　④

综合②、④知，直线l的斜率的取值范围为

20.(本小题满分12分)

水库的蓄水量随时间而变化，现用表示时间，以月为单位，年初为起点，根据历年数据，某水库的蓄水量（单位：亿立方米）关于的近似函数关系式为

（Ⅰ）该水库的蓄求量小于50的时期称为枯水期.以表示第1月份（）,同一年内哪几个月份是枯水期？

（Ⅱ）求一年内该水库的最大蓄水量（取计算）.

解：本小题主要考查函数、导数和不等式等基本知识，考查用导数求最值和综合运用数学知识解决实际问题能力.（满分12分）

（Ⅰ）①当时，，化简得,

解得，或，又，故.

②当时，，化简得,

解得，又,故.

综合得,或；

故知枯水期为1月，2月，3月，11月，12月共5个月.

(Ⅱ)(Ⅰ)知：V(t)的最大值只能在（4，10）内达到.

由V′（t）= 

令V′(t)=0,解得t=8(t=-2舍去).

当t变化时，V′(t) 与V (t)的变化情况如下表：

t

(4,8)

8

(8,10)

V′(t)

+

0

-

V(t)

极大值

由上表，V(t)在t＝8时取得最大值V(8)＝8e²+50-108.52(亿立方米).

故知一年内该水库的最大蓄水量是108.32亿立方米

21.(本小题满分14分)

已知数列和满足：,其中为实数，为正整数.

（Ⅰ）对任意实数，证明数列不是等比数列；

（Ⅱ）试判断数列是否为等比数列，并证明你的结论；

（Ⅲ）设,为数列的前项和.是否存在实数，使得对任意正整数，都有

?若存在，求的取值范围；若不存在，说明理由.

解：本小题主要考查等比数列的定义、数列求和、不等式等基础知识和分类讨论的思想，考查综合分析问题的能力和推理认证能力，（满分14分）

（Ⅰ）证明：假设存在一个实数λ，使｛a_n｝是等比数列，则有a²₂=a₁a₃,即

矛盾.

所以｛a_n｝不是等比数列.

(Ⅱ)解：因为b_n+1=(-1)ⁿ⁺¹［a_n+1-3(n-1)+21］=(-1)ⁿ⁺¹(a_n-2n+14)

=(-1)ⁿ・（a_n-3n+21）=-b_n

又b₁x-(λ+18),所以

当λ＝－18，b_n=0(n∈N⁺),此时｛b_n｝不是等比数列：

当λ≠－18时，b₁=(λ+18) ≠0,由上可知b_n≠0，∴(n∈N⁺).

故当λ≠-18时，数列｛b_n｝是以－（λ＋18）为首项，－为公比的等比数列.

(Ⅲ)由（Ⅱ）知，当λ=-18,b_n=0,S_n=0,不满足题目要求.

∴λ≠-18，故知b_n= -（λ+18）・（－）^n-1，于是可得

S_n=-

要使a<S_n<b对任意正整数n成立，

即a<-(λ+18)・［1－（－）ⁿ］〈b(n∈N⁺)              

   ①

当n为正奇数时，1<f(n)

∴f(n)的最大值为f(1)=,f(n)的最小值为f(2)= ,

于是，由①式得a<-(λ+18),<

当a<b3a时，由－b-18=-3a-18，不存在实数满足题目要求；

当b>3a存在实数λ，使得对任意正整数n,都有a<S_n<b,且λ的取值范围是（－b-18,-3a-18）