Question

【题目】如图，在四棱锥中，平面 平面， ， ， ．

（Ⅰ）求证： 平面；

（Ⅱ）求平面与平面所成角的余弦值．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）见解析（Ⅱ）

【解析】试题分析： 由直角及边长关系得，又因为平面平面，运用性质定理证得平面，由判定定理证得平面　

建立空间直角坐标系，求法向量，计算可得。

解析：（Ⅰ）在底面中， ， ，

所以， ，所以，

所以，

又平面平面，平面平面， 平面，

所以平面，

又平面，所以，

又即，

又，

所以平面.　

（Ⅱ）分别延长和相交于一点，连结，则直线即为所求直线，

在平面内过作（如图），

又平面平面，平面平面， 平面，

所以平面，又，

所以两两互相垂直.以为原点，向量的方向分别为轴、轴、轴的正方向建立空间直角坐标系（如图），另设，

则， ， ， ，

所以， ，

设是平面的法向量，

则即

令，得.

显然是平面的一个法向量.

设二面角的大小为（为锐角）.

所以，

所以二面角的的余弦值为。