Question

【题目】如图，一张纸的长、宽分别为2a，2a，A，B，C，D分别是其四条边的中点，现将其沿图中虚线折起，使得P1，P2，P3，P4四点重合为一点P，从而得到一个多面体，关于该多面体的下列命题，正确的是________(写出所有正确命题的序号).

①该多面体是三棱锥；②平面BAD⊥平面BCD；

③平面BAC⊥平面ACD；④该多面体外接球的表面积为5πa2.

Answer 1

【答案】①②③④

【解析】将平面图形沿图中虚线折起.使得P1，P2，P3，P4四点重合为一点P，从而得到一个多面体，则①由于(a)2＋(a)2＝4a2，∴该多面体是以A，B，C，D为顶点的三棱锥，①正确.

②∵AP⊥BP，AP⊥CP，BP∩CP＝P，BP，CP平面BCD，∴AP⊥平面BCD，∵AP平面BAD，∴平面BAD⊥平面BCD，正确.

③与②同理，可得平面BAC⊥平面ACD，正确.

④该多面体外接球的半径为a，表面积为5πa2，正确.

点睛:立体几何中折叠问题,要注重折叠前后垂直关系的变化,不变的垂直关系是解决问题的关键条件.