Question

【题目】设函数，.

（Ⅰ）当，时，设，求证：对任意的，；

（Ⅱ）当时，若对任意，不等式恒成立.求实数的取值范围.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）.

【解析】

试题分析：（Ⅰ）首先将所证问题“对任意的，”转化为“”，进而转化为“”，然后令，并求出其导函数并判断其函数的单调性，进而得出所证的结果；（Ⅱ）首先将问题“对任意，不等式恒成立”转化为“”，然后构造函数，，并求出导函数并进行分类讨论：当时和当时，并分别求出其导函数并判断其单调性，最后结合已知条件即可得出所求的结果．

试题解析：（Ⅰ）当，时，，

所以等价于.

令，则，可知函数在上单调递增，

所以，即，亦即，

所以.

（Ⅱ）当时，，．

所以不等式等价于.

令，，

则.

当时，，则函数在上单调递增，所以，

所以根据题意，知有，∴.

当时，由，知函数在上单调增减；

由，知函数在上单调递增.

所以.

由条件知，，即.

设，，则，，

所以在上单调递减.

又，所以与条件矛盾.

综上可知，实数的取值范围为.