Question

【题目】一装有水的直三棱柱容器（厚度忽略不计），上下底面均为边长为5的正三角形，侧棱为10，侧面水平放置，如图所示，点， ， ， 分别在棱， ， ， 上，水面恰好过点， ， ， ，且．

（1）证明： ；

（2）若底面水平放置时，求水面的高．

Answer 1

【答案】(1)见解析(2)

【解析】试题分析：（1）直三棱柱容器侧面水平放置，所以平面平面，由面面平行性质得．（2）当底面ABC水平放置时，水的形状为四棱柱形，由已知条件求出水的体积，由于是三棱柱形容器，故水的体积可以用三角形的面积直接表示出，不必求三角形的面积．

（1）证明：因为直三棱柱容器侧面水平放置，

所以平面平面，

因为平面平面，平面平面，

所以．

（2）解；当侧面水平放置时，可知液体部分是直四棱柱，

其高即为直三棱柱容器的高，即侧棱长10.

由（I）可得，又，

所以.

当底面水平放置时，设水面的高为，由于两种状态下水的体积相等，

所以，即，

解得.