Question

【题目】已知为坐标原点，椭圆： 的左焦点是，离心率为，且上任意一点到的最短距离为.

（1）求的方程；

（2）过点的直线（不过原点）与交于两点、， 为线段的中点.

（i）证明：直线与的斜率乘积为定值；

（ii）求面积的最大值及此时的斜率.

Answer 1

【答案】（1）；（2）（i）见解析；（ii）面积的最大值是，此时的斜率为.

【解析】试题分析：（1）由题设可以得到关于的方程组为，从而，故，所以椭圆的方程为.（2）设直线为： ， ， ， ，联立直线的方程和椭圆的方程并消元后可以得到，利用韦达定理得到，故，从而为定值.利用弦长公式和点到直线的距离可得，令，从而，最后利用基本不等式可以得到面积的最大值为且此时也就是.

解析：（1）由题意得，解得，∴， ，∴椭圆的方程为.

（2）（i）设直线为： ， ， ， ，由题意得，

∴，∴，即，由韦达定理得： ， ，∴， ，∴，∴，∴直线与的斜率乘积为定值.

（ii）由（i）可知：

，又点到直线的距离，

∴的面积

，令，则，∴ ，当且仅当时等号成立，此时，且满足，∴面积的最大值是，此时的斜率为.