Question

【题目】在直角坐标系中，点到两点，的距离之和等于4，设点的轨迹为,直线与交于两点，

（1）写出的方程；

（2）若，求的值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】

试题分析：（1）由题中条件：“点到两点，的距离之和等于，”结合椭圆的定义知其轨迹式样，从而求得其方程；（2）先将直线方程与椭圆方程联立方程组，消去得到一个一元二次方程，再利用根与系数的关系结合向量垂直的条件列关于方程式即可求得参数值.

试题解析：(1)设P(x，y)，由椭圆定义可知，点P的轨迹C是以(0，－)、(0，)为焦点，长半轴为2的椭圆，它的短半轴，

故曲线C的方程为.

(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，

联立方程

消去y并整理得(k2＋4)x2＋2kx－3＝0.

其中Δ＝4k2＋12(k2＋4)>0恒成立．

故，.

若，即x1x2＋y1y2＝0.

而y1y2＝k2x1x2＋k(x1＋x2)＋1，

于是x1x2＋y1y2＝－，

化简得－4k2＋1＝0，所以k＝±.