Question

【题目】在如图所示的圆台中，是下底面圆的直径，是上底面圆的直径，是圆台的一条母线．

（1）已知，分别为，的中点，求证：平面；

（2）已知，，求二面角的余弦值．

Answer 1

【答案】(1)证明见解析；(2).

【解析】

试题分析：（1）证明线面平行，证明该直线所在的一个平面平行于该平面即可；（2）建立空间直角坐标系，求出两平面的法向量，代入即可.

试题解析：（1）证明：设的中点为，连接，，

在，因为是的中点，所以，

又，所以．

在中，因为是的中点，所以，

又，所以平面，

因为，所以．

（2）连接，则，

又，且是圆的直径，所以，

以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，

由题意得，，过点作垂直于点，

所以，

可得．

故，．

设是的一个法向量，

由可得可得的一个法向量，

因为的一个法向量，

所以．

所以二面角的余弦值为．