Question

【题目】如图，ABCD是菱形，PA⊥平面ABCD，PA=AD=2，∠BAD=60°．
（1）求证：平面PBD⊥平面PAC；
（2）求点A到平面PBD的距离；
（3）求二面角A﹣PB﹣D的余弦值．

Answer 1

【答案】
（1）证明：设AC与BD交于O点

∵ABCD是菱形，∴AC⊥BD

以OA、OB所在直线分别x轴，y轴．以过O且垂直平面ABCD的直线为z轴，建立如图的空间直角坐标系，

则

∵

∴

∴DB⊥AP

∵AC⊥BD，AC∩AP=A

∴DB⊥平面PAC，又DB平面PDB

∴平面PBD⊥平面PAC

（2）解：设平面PDB的法向量为 ，

由 ，∴

令z1=1得

∵

∴点A到平面PBD的距离 =

（3）解：设平面ABP的法向量 ，

∵ ，∴

∴

∴

∴二面角A﹣PB﹣D的余弦值为

【解析】（1）先证明AC⊥BD，再利用向量的方法证明DB⊥AP，从而可得DB⊥平面PAC，利用面面垂直的判定可得面PBD⊥平面PAC；（2）求出平面PDB的法向量为 ， ，从而可求点A到平面PBD的距离；（3）求出平面ABP的法向量 ，利用向量的夹角公式，即可求得二面角A﹣PB﹣D的余弦值．
【考点精析】解答此题的关键在于理解平面与平面垂直的判定的相关知识，掌握一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直．