Question

【题目】已知函数

（1）若，讨论的单调性；

（2）若，证明：当时，

Answer 1

【答案】（1）在上单调递减，在 上单调递增；（2）详见解析.

【解析】试题分析：（1）当时， ，利用导数与单调性的有关知识，可求得函数的单调区间.（2）对函数求两次导数，利用二阶导数判读出一阶导数单调递增有唯一零点，设出这个零点，得到的单调区间和最小值.构造函数，同样利用二阶导数判断出的单调区间，由此求得的值域.

试题解析：

（1）当时， ． ，令，得．

易知在上单调递减， 在上单调递增．

（2）证明： ， .

当时， ，故，故单调递增．

又，

故存在唯一的，使得，即，

且当时， ，故单调递减，

当时， ，故单调递增．

故．

因为是方程的根，故．

故．

令， ， ．

故在(0，1)上单调递减，故g，

故在(0，1)上单调递减，∴，故．