Question

【题目】已知函数函数f（x）=（ ） ．
（1）求函数f（x）的值域
（2）求函数的单调递减区间．

Answer 1

【答案】
（1）解：根据题意：函数f（x）=（ ） 是复合函数，

令﹣x2﹣4x+2=t，则函数f（x）=（ ） 转化为g（t）= ，可知函数g（t）在其定义域内是减函数．

根据二次函数的性质可知：

函数t：开口向下，对称轴x=﹣2，

当x=﹣2时，函数t取得最大值为6．

故得t∈（﹣∞，6]．

那么函数g（t）= 的最小值为g（6）max= ，即函数f（x）的最小值为 ．

故得函数f（x）的值域为[ ，+∞）

（2）解：由（1）可知：函数t在x∈（﹣∞，﹣2）上是单调递增，在x∈（﹣2，+∞）上单调递减．

根据复合函数的单调性“同增异减”可得：

∴函数f（x）=（ ） 的单调递减区间为（﹣∞，﹣2）

【解析】（1）根据题意f（x）是复合函数，将其分解成基本函数，利用复合函数的单调性求值域．（2）根据复合函数的单调性“同增异减”可得答案．
【考点精析】解答此题的关键在于理解函数的值域的相关知识，掌握求函数值域的方法和求函数最值的常用方法基本上是相同的．事实上，如果在函数的值域中存在一个最小（大）数，这个数就是函数的最小（大）值．因此求函数的最值与值域，其实质是相同的，以及对函数的单调性的理解，了解注意：函数的单调性是函数的局部性质；函数的单调性还有单调不增，和单调不减两种．