Question

【题目】已知椭圆： ，过点作圆的切线交椭圆于、两点．

（Ⅰ）求椭圆的焦点坐标和离心率；

（Ⅱ）将表示成的函数，并求的最大值．

Answer 1

【答案】（1）（2）的最大值为2.

【解析】试题分析： 由题意及椭圆和圆的标准方程，利用椭圆离心率的定义和点到直线的距离公式即可求解；

由题意推出，通过当 ，当时，设切线方程为

，联立直线与椭圆方程，利用韦达定理弦长公式以及圆的圆心到直线的距离等于半径，转化求解，利用基本不等式求出最值即可。

解析：（Ⅰ）椭圆的半长轴长，半短轴长，半焦距，

焦点坐标是， ，离心率是；

（Ⅱ）易知，当时，切线方程为或，

此时

当时，易知切线方程斜率不为0，可设切线的方程为： ，

即，则，得： ①

联立： ，得： ，整理：

其中

②

代入②：，

而，等号成立当且仅当，

即时．

综上， 的最大值为2.