Question

【题目】在如图所示的四棱锥中，四边形为正方形，，平面，且、、分别为、、的中点，.

⑴证明：平面；

⑵若，求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】⑴证明见解析；⑵.

【解析】

试题分析：⑴做辅助线，由为中点，为中点.又为中点，又，为中点平面；⑵由平面

，又平面.以为坐标原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，求出平面的一个法向量，平面的法向量为. 由图可知，二面角为钝角二面角的余弦值为.

试题解析：⑴证明：连结，分别交、于点、，连结、，

∵为中点，为中点，∴.……………………2分

又，∴为中点，又，，∴为中点，

∴，∴.……………………………………4分

∵平面，平面，

∴平面.………………………………5分

⑵解：∵平面，∴，又，，

∴平面.……………………………………6分

如图 ，以为坐标原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，

则，

则，，………………………………7分

∵平面，∴平面的一个法向量.…………8分

设平面的法向量为，

则，即，…………………………9分

令，则，，∴，…………10分

∴.……………………………………11分

由图可知，二面角为钝角，

∴二面角的余弦值为.……………………………………12分