[题目]已知函数. ．(I)求的单调区间,(II)若对任意的.都有.求实数的取值范围．题目和参考答案 ——青夏教育精英家教网—

【题目】已知函数，．

（I）求的单调区间；

（II）若对任意的，都有，求实数的取值范围．

【答案】(1)详见解析;(2) .

【解析】试题分析：对函数求导，针对参数进行讨论，研究函数得单调性；第二步为恒成立问题，当时，由于不满足题意要求，当时，求出函数的最大值，要使在上恒成立，只需，从而求出的范围.

试题解析：（I），当时，恒成立，则在上单调递增；当时，令，则．则在区间上单调递增，在区间上单调递减．

（II）方法1：

当时，因为，

所以不会有，．

②当时，由（I）知，在上的最大值为．

所以，等价于．即．

设，由（I）知在上单调递增．

又，所以的解为．

故，时，实数的取值范围是．

方法2：，等价于.令，则．

令，则．

因为当，恒成立，

所以在上单调递减．

又，可得和在上的情况如下：

所以在上的最大值为．

因此，等价于．

故，时，实数的取值范围是．

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猜想： _______.
然后用数学归纳法证明．证明过程如下：
①当时，________________，猜想成立
②假设（N*）时，猜想成立，即_______．
那么，当时，由已知，得_________．
又，两式相减并化简，得_____________（用含的代数式表示）．
所以，当时，猜想也成立．
根据①和②，可知猜想对任何N*都成立．
思路2：先设的值为1，根据已知条件，计算出_____________．
由已知，写出与的关系式： _____________________，
两式相减，得与的递推关系式： ____________________．
整理： ____________．
发现：数列是首项为________，公比为_______的等比数列．
得出：数列的通项公式____，进而得到____________．
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某机构为了某一品牌普通6座以下私家车的投保情况，随机抽取了60辆车龄已满三年的该品牌同型号私家车的下一年续保时的情况，统计得到了下面的表格：

类型
数量	10	5	5	20	15	5

以这60辆该品牌车的投保类型的频率代替一辆车投保类型的概率，完成下列问题：

（1）按照我国《机动车交通事故责任强制保险条例》汽车交强险价格的规定，，记为某同学家的一辆该品牌车在第四年续保时的费用，求的分布列与数学期望；（数学期望值保留到个位数字）

（2）某二手车销售商专门销售这一品牌的二手车，且将下一年的交强险保费高于基本保费的车辆记为事故车，假设购进一辆事故车亏损5000元，一辆非事故车盈利10000元：

①若该销售商购进三辆（车龄已满三年）该品牌二手车，求这三辆车中至多有一辆事故车的概率；

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