Question

【题目】已知函数.

（1）判断的单调性；

（2）已知：不等式对任意恒成立；：函数的两个零点分别在区间和内，如果为真，为假，求实数的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）当，且时，单调递增；（2）.

【解析】

试题分析：（1）由题意可利用分类讨论法进行求解，当时，有，且为增函数，为减函数，从而为增函数，所以为增函数，当时，，且为减函数，为增函数，从而为减函数，所以为增函数，故当，且时，单调递增；（2）由（1）知在上是增函数，则在上的最大值为，若不等式对任意恒成立，则；若函数的两个零点分别在区间和内，由二分法可得，得.又因为为真，为假，所以、一真一假，若真，假，则有；若假，真，则.故实数的取值范围是.

试题解析：（1）当时，为增函数，为减函数，

从而为增函数，所以为增函数，

当时，，

为减函数，为增函数，

从而为减函数，所以为增函数，

故当，且时，单调递增.……………………………………5分

（2）由（1）知在上是增函数，则

在上的最大值为，

若不等式对任意恒成立，则.……………………7分

若函数的两个零点分别在区间和内，

则，得.……………………………………9分

∵为真，为假，∴、一真一假，

若真，假，则有；若假，真，则.

故实数的取值范围是.…………………………12分