Question

【题目】如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD为菱形，且PA=AD=2， ，E、F分别为AD、PC中点．
（1）求点F到平面PAB的距离；
（2）求证：平面PCE⊥平面PBC；
（3）求二面角E﹣PC﹣D的大小．

Answer 1

【答案】
（1）解：如图，取PB中点G，连接FG、AG，

∵底面ABCD为菱形，且PA=AD=2，BD= ，∴底面ABCD为正方形，

∵E、F分别为AD、PC中点，∴FG∥BC，FG= ，AE∥BC，AE= ，

则FG∥AE且FG=AE，四边形AEFG为平行四边形，故AG∥FE，

∵AG平面PAB，EF平面PAB，∴EF∥平面PAB，

∴点F与点E到平面PAB的距离相等，即距离为EA=1

（2）证明：由（1）知，AG⊥PB，AG∥EF，

∵PA⊥平面ABCD，∴BC⊥PA，

∵BC⊥AB，AB∩BC=B，∴BC⊥平面PAB，

∴BC⊥AG，又PB∩BC=B，

∴AG⊥平面PBC，则EF⊥平面PBC，

∵EF平面PCE，∴平面PCE⊥平面PBC

（3）解：作EM⊥PD于M，连接FM，

∵CD⊥平面PAD，∴CD⊥EM，

∴EM⊥平面PCD，则EM⊥PC．

由（2）知，EF⊥平面PBC，∴EF⊥PC，

又EM∩EF=E，∴PC⊥平面EFM，

∴FM⊥PC，

∴∠MFE为二面角E﹣PC﹣D的平面角或其补角．

∵PA=AD=2，∴EF=AG= ，EM= ．

∴sin∠MEF= ，则∠MFE=30°．

即二面角E﹣PC﹣D的大小为30°．

【解析】（1）取PB中点G，连接FG、AG，由已知可得底面ABCD为正方形，再由E、F分别为AD、PC中点，可得四边形AEFG为平行四边形，得到AG∥FE，由线面平行的判定可得EF∥平面PAB，从而得到点F与点E到平面PAB的距离相等，即距离为EA=1；（2）由（1）知，AG⊥PB，AG∥EF，再由PA⊥平面ABCD，可得BC⊥PA，由线面垂直的判定可得BC⊥平面PAB，得到BC⊥AG，进一步得到AG⊥平面PBC，则EF⊥平面PBC，由面面垂直的判定可得平面PCE⊥平面PBC；（3）作EM⊥PD于M，连接FM，由CD⊥平面PAD，得CD⊥EM，进一步得到EM⊥PC．结合（2）知，EF⊥平面PBC，即EF⊥PC，可得FM⊥PC，从而得到∠MFE为二面角E﹣PC﹣D的平面角或其补角．然后求解三角形可得二面角E﹣PC﹣D的大小为30°．
【考点精析】根据题目的已知条件，利用平面与平面垂直的判定的相关知识可以得到问题的答案，需要掌握一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直．