Question

【题目】已知抛物线的对称轴为坐标轴，顶点是坐标原点，准线方程为x=﹣1，直线l与抛物线相交于不同的A，B两点．
（1）求抛物线的标准方程；
（2）如果直线l过抛物线的焦点，求 的值；
（3）如果 ，直线l是否过一定点，若过一定点，求出该定点；若不过一定点，试说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：已知抛物线的对称轴为坐标轴，顶点是坐标原点，准线方程为x=﹣1，

所以 ，p=2．

∴抛物线的标准方程为y2=4x

（2）

解：设l：my=x﹣1，与y2=4x联立，得y2﹣4my﹣4=0，

设A（x1，y1），B（x2，y2），∴y1+y2=4m，y1y2=﹣4，

∴

（3）

解：假设直线l过定点，设l：my=x+n，

，得y2﹣4my+4n=0，

设A（x1，y1），B（x2，y2），∴y1+y2=4m，y1y2=4n．

由 ，解得n=﹣2，

∴l：my=x﹣2过定点（2，0）

【解析】（1）由抛物线的准线方程可知： ，p=2．即可求得抛物线方程；（2）设l：my=x﹣1，代入抛物线方程，利用韦达定理及向量数量积的坐标运算，即可求得 的值；（3）设直线l方程，my=x+n，代入椭圆方程，利用韦达定理及向量数量积的坐标运算，即可求得n的值，可知直线l过定点．