Question

【题目】已知函数.

（Ⅰ）讨论函数的单调性；

（Ⅱ）已知点，曲线在点 处的切线与直线交于点，求（为坐标原点）的面积最小时的值，并求出面积的最小值.

Answer 1

【答案】（1）单调递增（2）时，的面积有最小值1.

【解析】试题分析：（1）先求导数，再求导函数零点，根据零点分区间讨论导函数符号，即得函数的单调性；（2）先根据导数几何意义得切线斜率，根据点斜式写出切线方程，与联立得点，再根据三角形面积公式得 ，利用导数研究函数单调性，即得最小值.

试题解析：解：（Ⅰ）依题意，.

令，故，令，解得，

故在上单调递减，在上单调递增，

故，故，即，

故函数在上单调递增.

（Ⅱ）依题意，切线的斜率为，

由此得切线的方程为，

令，得 ，

所以 ，.

设，.

则 ，

令，得或.

，的变化情况如下表：

所以在上单调递减，在上单调递增，

所以，即时，的面积有最小值1.